Моменты сопротивления сечений простых фигур

Выше были получены формулы, по которым можно вычислять осевые моменты инерции некоторых простейших сечений — прямоугольника, круга, кольца.

Зная формулу для Jx и расстояние от центральной оси (нейтральной линии сечения) до наиболее удаленных точек сечения и используя формулу (5.4), легко получить формулы для определения моментов сопротивления простейших фигур.

1. Прямоугольник (рис. 4.7):

следовательно,

  • (5.8)
  • Х = с1И2 /б .

Аналогично

Уу = Иб2 .

  • 2. Круг (рис. 4.8, а):
    • •Углах ^тах ^/2 ,

тах

тах

следовательно,

(5.9)

ху= кб3/32 « 0,13.

3. Кольцо (рис. 4.8, б):

следовательно,

?х = (тс^/3/32)(1 -с2) = 0,1^3(1-с4), (5.10)

где С = <70Д/ .

Значения моментов сопротивления стандартных прокатных профилей относительно главных осей приведены в соответствующих ГОСТах наряду с такими характеристиками сечения, как моменты инерции, площадь и др.

Нормальные и касательные напряжения при прямом поперечном изгибе

При чистом изгибе в поперечных сечениях возникнет единственный внутренний силовой фактор — изгибающий момент, величина которого по всей длине участка неизменна.

В случае поперечного изгиба (рис. 5.17) в сечениях стержня помимо изгибающего момента возникает поперечная сила, которая представляет собой равнодействующую касательных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения стержня. Таким образом, поперечный изгиб сопровождается возникновением не только нормальных, но и касательных напряжений.

Р

  • а)
  • б) %
  • в)

I

?

М, А/ +

ЛЖггт

р

г/

I'

У

/

г

X

1

Рис. 5.17. Поперечный изгиб:

а — расчетная схема; б — эпюра поперечных сил; в — эпюра моментов; г — элемент балки с силовыми параметрами

г)

  • (її
  • (?Л м. + (їм.

При чистом изгибе сечения поворачиваются относительно друг друга, оставаясь при этом плоскими и перпендикулярными к оси. Появление касательных напряжений приводит к дополнительным угловым смещениям, неодинаковым по сечению стержня, что обусловлено сдвигом. А это, в свою очередь, приводит к искривлению плоских до изгиба сечений и, следовательно, к нарушению гипотезы плоских сечений.

Однако теоретические и экспериментальные исследования показали, что влияние сдвигов на закон распределения нормальных напряжений невелико, и им пренебрегают. Таким образом, для поперечного изгиба считают гипотезу плоских сечений приемлемой. Вследствие этого нормальные напряжения при поперечном изгибе определяют по той же формуле (5.3), что была получена для чистого изгиба:

° = {Мх/'/Х)У-

В том, что при поперечном изгибе касательные напряжения возникают как в поперечных, так и в продольных сечениях, легко убедиться на простом примере. Если два равных стержня прямоугольного сечения, не скрепленных друг с другом и свободно лежащих на двух опорах, нагрузить сосредоточенной силой /г(рис. 5.18, а), то изгиб каждого из них будет происходить независимо от другого (силами трения между ними пренебрегаем).

Изгиб составного (а) и цельного (б) стержня

Рис. 5.18. Изгиб составного (а) и цельного (б) стержня

Если же взять целый стержень высотой 2/г, то в нейтральном слое должны появиться касательные напряжения, препятствующие сдвигу верхней части стержня относительно нижней (рис. 5.18, б).

Составим уравнение равновесия сил, приняв, что по продольному сечению Ьс1 (рис. 5.19, а) |6] касательные напряжения распределены равномерно:

^ Z = 0, | <зс1А - | (о + б(5)бЛ + Ьбг = 0.

А* А*

а) б) в)

Рис. 5.19. Силовые параметры в сечениях: а — расчетная схема; б — эпюра нормальных напряжений; в — эпюра

касательных напряжений

а Ь

Мх + с1Мх

Здесь А — площадь граней аЬ и ссі (отсеченной части поперечного сечения балки); Ь — ширина поперечного сечения балки на расстоянии у, от нейтральной оси х.

Разбив второй интеграл на два и выполнив преобразования, получим

т Ьс11 - | с!ас!А = 0.

А*

В соответствии с формулой (5.3) можно записать

<1о = (с1Мх^х)у.

Вынесем в уравнении равновесия постоянные за знак интеграла, тогда получим

т Ьйг-

уМ = 0.

Интеграл представляет собой статический момент отсеченной части поперечного сечения А относительно оси х:

= | уёА .

А*

Подставив в уравнение равновесия, получим

х={(х1<11р:^хь

НО

0У = х /ск,

тогда

т = (е,5;)/(«,). (5.11)

Эту зависимость называют формулой Журавского.

Формула (5.11) получена для касательных напряжений, возникающих в сечении, параллельном нейтральному слою, но в соответствии с законом парности касательных напряжений такие же по абсолютному значению напряжения возникают в поперечных сечениях на расстоянии у, от нейтральной линии х (рис. 5.19, в).

Выясним закон распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения. В отличие от нормальных напряжений, распределяющихся по высоте сечения любой формы по линейному закону, распределение касательных напряжений зависит от формы сечения. Установим закон распределения касательных напряжений по высоте, например, прямоугольного поперечного сечения.

Составим выражение для касательных напряжений, возникающих в произвольной точке сечения на расстоянии у от нейтральной линии (рис. 5.20):

где <2у, /;, = Ыг/2 имеют постоянное значение для всех точек се

чения.

Распределение касательных напряжений по нысоте поперечного сечения

Рис. 5.20. Распределение касательных напряжений по нысоте поперечного сечения

Проводим через выбранную точку линию, параллельную нейтральной линии сечения, отсекая таким образом часть сечения площадью А (на рис. 5.20 заштрихована) |6|. Статический момент отсеченной части площади равен произведению площади на координату^ ее центра тяжести:

  • 5"х = А*ус-, А* = Ь{(Н/2)-у), ус = 0,5((Л/2) +у);
  • 5; = Л((Л/2) - у) • 0.5((А/2) + у) = (*/2)((/Г1/а)- у1).

Такой же результат получим, если составим выражение для статического момента нижней (незаштрихованной) части сечения.

Подставив выражение для ? и У в формулу (5.11) для т, получим

т = (120УЬ/ЬИ3Ь ? 2)((Л2/4) - Г) = (бОт3 )((Л2/4) - г )?

В полученное выражение переменная у входит в квадрате, следовательно, касательное напряжение изменяется по высоте сечения по параболическому закону (см. рис. 5.20). В крайних точках сечения (при у = ±0,5/7) т = 0. Касательные напряжения достигают максимального значения

ттахУ12ЬИ = ЗОу/2А (5.12)

в точках на нейтральной линии, т.е. при у = 0.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >