Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Сопротивление материалов. В 2-х ч. Ч. 1

Кручение стержня круглого и кольцевого поперечных сечении

Теория кручения стержней круглого поперечного сечения основана на ряде следующих допущении.

  • 1. Гипотеза плоских сечений справедлива и при кручении, т.е. сечения, плоские и перпендикулярные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными после деформации.
  • 2. Радиусы поперечных сечений при кручении не искривляются, т.е. остаются прямыми.
  • 3. Расстояния между поперечными сечениями при кручении остаются неизменными.
  • 4. Материал стержня подчиняется закону Гука.

Нанеся на поверхность резиновой модели сетку продольных и поперечных линий (рис. 6.5, а) и подвергнув стержень кручению, можно убедиться, что все образующие на поверхности цилиндра по-

вернутся на один угол и превратятся в винтовые линии. Расстояния между поперечными линиями не изменятся, и сами эти линии не искривятся (рис. 6.5, б). Это простое наблюдение позволяет сделать вывод, что все поперечные сечения, не меняя своей формы, размеров и взаимного расположения, при кручении поворачиваются относительно друг друга — сдвигаются. Можно заметить, что элемент, заключенный между нанесенными линиями (например, заштрихованный на рис. 6.5, б), подвергается сдвигу. Каждое поперечное сечение повернется на некоторый угол, который будет тем больше, чем дальше сечение отстоит от левого защемленного края. На рис. 6.6, а изображен стержень круглого сечения. На расстоянии I от левого заделанного сечения двумя поперечными сечениями вырежем элементарный цилиндр длиной б. и радиусом р. На его поверхности нанесем прямолинейную образующую АВ (в увеличенном масштабе этот элемент показан на рис. 6.6, б).

а)

Рис. 6.5. Резиновая модель:

а — сетка на поверхности модели до нагружения; б — характер изменения

сетки при кручении

Кручение стержня

Рис. 6.6. Кручение стержня:

а — расчетная схема; б — элемент стержня; в — поперечное сечение стержня

При приложении внешнего момента М к правому сечению все сечения, кроме левого, закрепленного, повернутся друг относительно друга. Повернутся и два выделенных поперечных сечения.

Выясним, какова деформация элементарного цилиндра. Поскольку нас интересует деформация элемента, а не его перемещение в пространстве, для упрощения рассуждений будем считать его левое сечение неподвижным. Вследствие перемещения правого сечения относительно левого точка В, лежащая на поверхности элементарного цилиндра, займет положение Вь переместившись по дуге окружности радиуса р. Линия ЛВ{, ввиду малости выделенного элемента, может быть принята за отрезок прямой. Деформация сдвига выделенного элемента будет характеризоваться углом сдвига у. Из прямоугольного треугольника АВВ, видим, что {ёу = ВВ^/АВ, или, учитывая, что ВВХ = р^/ф, а АВ — с!1, получим Ь$у= рс!ц>/

Из-за малости деформаций можно считать tgY = у, тогда

Воспользуемся законом Гука х = (Ту и подставим в него полученное выражение, получим

(6.3)

В точках поперечного сечения, проходящего через точку В стержня (см. рис. 6.6), возникнут касательные напряжения, перпендикулярные текущему радиусу р, так как именно в этом направлении и происходит сдвиг. Выделим вокруг точки /?| элементарную площадку из-за ее малости изменением т в ее пределах можно пренебречь и записать элементарную касательную силу как произведение т на с1А. Элементарный момент этой силы относительно оси г

(1Мг = (х*/Л)р.

Суммируя по всей площади сечения элементарные моменты, на-

ходим крутящий момент:

А

Подставляя вместо х выражение (6.3), получаем

л

При интегрировании по плошали поперечного сечения величины с1($/ск и (7 постоянны и, значит, могут быть вынесены за знак интеграла:

Интеграл, входящий в выражение Л/,, представляет собой геометрическую характеристику сечения, называемую полярным моментом инерции сечения и обозначаемую:

J|,=p1dA. (6.4)

Л

Очевидно, размерность Jp м4.

Теперь выражение крутящего момента можно переписать в виде

(6.5)

Приравняв выражения для

из (6.3) и (6.5), получим:

откуда

Из этой формулы следует, что касательные напряжения т вдоль любого радиуса сечения изменяются по линейному закону (рис. 6.7).

I

Изменение касательных напряжений в поперечном сечении при кручении стержня

Рис. 6.7. Изменение касательных напряжений в поперечном сечении при кручении стержня

Из (6.6) видно, что в точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения т равны. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, максимально удаленных от центра сечения, т.е. вточ-

ках контура поперечного сечения. Эти напряжения можно определить, подставив в (6.6) вместо р его наибольшее значение:

т

тах

М

ггт

Обозначив

= Ур, получим

/ Ртах

(6.7)

Величина ?р, называемая полярным моментом сопротивления сечения кручению, является геометрической характеристикой сечения стержня.

Формулу для определения угла закручивания можно получить из выражения (6.5):

(6.8)

Полный угол закручивания участка стержня длиной / равен

Если на участке длиной / величины М_ и GJР постоянны, то

(6.9)

Величина аР называется жесткостью сечения вала при кручении. В общем случае, когда крутящий момент или жесткость сечения постоянны не по длине вала, а лишь в пределах отдельных участков стержня, формулу (6.9) можно использовать только по участкам, так

же как определяются линейные перемещения при растяжении и сжатии (см. главу 2).

Чтобы вычислить ф для сплошного круглого сечения (рис. 6.8, а), разобьем сечение на бесчисленное множество элементарных площадок, представив каждую из них в виде бесконечно тонкого кольца толщиной ф [25, 26]. Подставив вместо с!А площадь такого элементарного кольца 2лрф, получим

(6.10)

JP = nd*/3 2 = 0, к/4

а) б)

Для кольца (рис. 6.8, б) разница будет лишь в пределах интегрирования: текущий радиус р будет изменяться от с!0/2 до с1/2, т.е.

Обозначая djd через с, получаем

(6.11)

Полярный момент сопротивления Wp определяется как отношение полярного момента инерции сечения Jp к максимальному радиусу сечения. Для круга сплошного и кольцевого сечения pmax = d/2, тогда для круга

(6.12)

а для кольца

^=го/5(1-с4^/ = (шз(|_с4, (6.13)

Пример 6.2. На рис. 6.9 изображен вал круглого поперечного сечения, нагруженный системой моментов различного знака. Дано: МА = та Мс = -2та Мп = —тег, интенсивность распределенного момента т длины участков: Л В = 2а, ВС = а, СО = а JpX и ]р1 — полярные моменты инерции сечений, причем Jp2 = 2Jpl. Записать аналитические выражения для крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания на каждом из участков вала.

Построение эпюр крутящих моментов, касательных напряжений

Рис. 6.9. Построение эпюр крутящих моментов, касательных напряжений,

углов закручивания (пример 6.2)

Для построения эпюр крутящих моментов получим функциональные зависимости крутящего момента от координаты. В нашем случае система статически определима. При составлении уравнений в нашем случае следует иметь в виду, что стержень имеет три участка (АВ, ВС, СЭ). В рассматриваемом примере в точке В резко изменяется жесткость сечения вала за счет скачкообразного изменения его диаметра.

Участок I. Диапазон изменения координаты: 0 < ^ < 2а.

Крутящий момент: Л/., = М А +/и^, = та + гщ .

Максимальное касательное напряжение:

т = М*

1 тах / /

р 1

Угол закручивания вала:

_ [та + т1)

Участок 2. Диапазон изменения координаты: < ?2 ^ 3а. Крутящий момент: М,2 = МА + 2та - Зта.

Максимальное касательное напряжение:

Угол закручивания вала до текущего сечения.

В данном случае определим угол закручивания только той части вала, которая принадлежит второму участку, так как при построении эпюры углов закручивания на последующих участках ее ординаты можно определять нарастающим итогом.

Итак:

М-Аъ~2а)/ /GJP2

_3тя(г2 -2а)

2GJ

/>|

Участок 3. Диапазон изменения координаты: За < г3 < 4а. Крутящий момент в текущем сечении: Мг3 = МА + Ъпа- Мс = та. Максимальное касательное напряжение:

MzA^-3a)/

/GJ

Угол закручивания вала:

Поскольку эпюра представляет собой график функции, то при ее построении используем соответствующий математический аппарат для определения экстремальных точек, точек перегиба и пересечения графика с осями. Точка экстремума (min) функции углов закручивания на первом участке (см. рис. 6.9) находится слева от начала локальных координат участка (ее положение определяется отрицательной координатой —а), следовательно, график функции на этом участке экстремума не имеет.

Опасное сечение следует определять по эпюре максимальных касательных напряжений. В нашем случае опасное сечение оказалось расположенным в точке В.

Эпюры крутящего момента, касательных напряжений и углов закручивания представлены на рис. 6.9.

Ход решения статические неопределимых задач при кручении такой же, как и при растяжении (сжатии).

Пример 6.3. Построим эпюру крутящих моментов и углов закручивания дтя схемы, показанной на рис. 6.10.

Составляем уравнение статики, предположительно задав направление действия реактивных моментов (если в результате определения реакции получится знак «минус», то истинное направление противоположно предполагаемому; если получится знак «плюс», то направление действия реактивного момента определено верно):

МА-М + МВ= 0.

Заданная стержневая система один раз статически неопределима.

0,5 М

Эпюра М

Ма

0,5 М

Построение эпюр крутящих моментов и углов закручивания

Рис. 6.10. Построение эпюр крутящих моментов и углов закручивания

(пример 6.3)

Эпюра ф

Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместности деформаций: ср5 = 0 (следует из очевидного факта, что угол поворота в точке В равен нулю). Для этого мысленно отбросим правую опору в точке В и действие этой опоры на вал заменим реактивным моментом Мв (см. рис. 6.10). В этом случае реакция в опоре А будет равна Мл ~ -Мв + М.

Определим углы закручивания левого Дсрл и правого А<р„ участков (т.е. углы закручивания концов каждого из участков относительно углов закручивания начальных сечений этих участков):

(М-Мв)а/

/О/

р

Учитывая знаки моментов, запишем уравнение совместности деформаций в развернутой форме:

Фв=АФл+АФп=°-

Решая это уравнение, получаем Мв = следовательно,

мА =-мв + м =-М/2+м = м/г

Далее задача решается, как в случае статически определимой системы.

Покажем текущие сечения на обоих участках и примем для них системы координат. Составим по участкам уравнения моментов и углов закручивания.

Участок 1. Диапазон изменения координаты: 0<Ъ<а:

М1= ма = м/; Фл = р

Участок 2. Диапазон изменения координаты: а < г2 < 2а:

/СУ

р

М(12-а)/

'

Эпюры крутящего момента и угла закручивания показаны на рис. 6.10.

Пример 6.4. Найти максимальные касательные напряжения ттах и угол закручивания стального вала длиной, равной его пяти диаметрам, если вал передает мощность Р= 18 кВт, частота его вращения п = 965 мин-1 и диаметр с! = 28 мм.

Найдем передаваемый вращающий момент:

М»р = %>’ но м = тогда

_ 30 18-103

к- 965

= 180

Нм.

Крутящий момент во всех сечениях одинаков и равен внешнему приложенному моменту Мг — Мпр 180 Н м. Максимальные касательные напряжения:

х

тах

= 180/

/0,2 • 0,0283

= 40?106

Па = 40 МПа.

По условию длина вала / равна пяти диаметрам, т.е. /= 5-28 = 140 мм. Найдем угол закручивания вала:

180 0,14/

/8 -1010 0,1- 0,0284

рад.

Пример 6.5. Для стального ступенчатого стержня, изображенного на рис. 6.11, а, построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и определить угол поворота концевого сечения относительно заделки.

Л/3 =5,2 к Нм

М-, = 6,6 кНм

I

?

А/, = 4,4 кНм

  • а)
  • б)
  • в)

III

з

а

а

і

чС

1

-II-

-1— - — —

?хГ

  • 1
  • 1

II

а

а

Эпюра М 3 кНм

Эпюра т„их 120 МПа

.4,4 кНм

2.2 кНм

Рис. 6.11. Кручение ступенчатого стержня (пример 6.5): а — расчетная схема; б — эпюра крутящих моментов; в — эпюра максимальных касательных напряжений

  • 100 МПа
  • 88 МПа
  • 50 МПа

Построение эпюры крутящих моментов начнем со свободного конца стержня, что позволит не определять реакцию в заделке. На первом участке М11 = А/, = 4.4кН-м; на втором Мг п = Л/, — Л/2 = 4,4-6,6 = -2,2 кН м; на третьем Л/, = М - М2 + Мъ =4,4-6,6+ 5,2 = 3 кН м.

В пределах каждого из участков эпюра изобразится прямой, параллельной оси стержня. Эпюра М1 представлена на рис. 6.11, б. На участке I:

= 100-106 Па = 100 МПа.

На участке II:

  • -2,2-103/ _50 н/мм2=_50 МПа;
  • 2^3 /0,2 0,Об3 '

-2,2-103/

/0,2 - 0,053

= -88 Н/мм2 = -88 МПа.

На участке III:

Па = 120 МПа.

Эпюра ттах представлена на рис. 6.11, в.

Наиболее нагруженным оказался участок III.

Концевое сечение повернется на угол, равный полному углу закручивания всего стержня.

Чтобы найти угол поворота сечения, воспользуемся эпюрой крутящих моментов. Обратим внимание на то, что подлине стержня изменяются и крутящий момент, и жесткость сечения. Поэтому угол поворота концевого сечения найдем как алгебраическую сумму углов закручивания участков постоянной жесткости и постоянного Л/.. Таким образом,

(П = М;.а/ , М111й/ , Мг IIй/ ,МгШа/

ф /о ,Ц4б? /(),Ц4С /(),к/24(7 /0,14(7'

Подставляя численные значения, находим

4,4 103 0,1/ _ 2,2 -103 • 0,1/

ф /8-104• 106 0,1 0,Об4 /8-104• 106-0,1-0,Об4

_2,2-103 0,1/ 3-103-0,1/

/8 • 104 • 106 - 0,1 - 0,054 /8-104 ? 106 0,1-0,054

= 3,72 • 10-3 рад.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы