Потенциальная энергия деформации при кручении

При кручении стержня круглого сечения возникают деформации чистого сдвига. Ранее были получены выражения для удельной потенциальной энергии деформации при чистом сдвиге (3.5):

где у — угол сдвига; при кручении стержня круглого поперечного сечения у

Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

При разгрузке деформированное тело производит работу за счет потенциальной энергии деформации. Это свойство упругих тел используется в технике, в частности в амортизирующих и предохранительных устройствах, для возврата движущихся деталей в исходное положение, в часовых механизмах и т.д. В такого рода устройствах широкое применение нашли пружины.

Остановимся на так называемых пружинах растяжения (рис. 6.18, а) и сжатия (рис. 6.18, б), имеющих небольшой угол наклона витков а(а< 15 град). При малом угле наклона витка можно считать, что пружина состоит из ряда колец, расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси пружины.

р

V

Рис. 6.18. Винтовые пружины:

а — пружина растяжения; б — пружина сжатия

Для определения усилий, возникающих в витках пружины сжатия (рис. 6.19, а), воспользуемся, как обычно, методом сечений (рис. 6.19, б). Чтобы уравновесить внешнюю силу Р, к сечению пружины следует приложить поперечную силу 0 = /’и крутящий момент Л/, = Рс!{/2, где — средний диаметр пружины. В поперечном сечении витка возникнут только касательные напряжения. В приближенном расчете [25, 26] можно считать, что напряжения, соответству

ющие поперечной силе, распределены равномерно по площади сечения, а напряжения, соответствующие Л/,, изменяются по линейному закону, как при кручении. Тогда

и

3

Суммарное напряжение в опасной точке сечения витка

откуда

(6.27)

Эпюры напряжений, возникающих в поперечных сечениях витка пружины, представлены на рис. 6.19, в, г, д.

Отношение среднего диаметра пружины с! к диаметру проволоки с1 назовем индексом пружины и обозначим С„, т.е. Сп = бх/с1. Тогда выражение (6.27) перепишется в виде

(6.28)

Обычно Сп = 4... 12. В этом случае 1/Сп = 0,125...0,04 и в приближенных расчетах может не учитываться. Тогда

пшх

т

Для уточнения последней формулы в нее вводят поправочный коэффициент к, зависящий от индекса пружины, т.е.

(6.29)

в) г) д)

Рис. 6.19. Расчет цилиндрической винтовой пружины:

а — рассматриваемая пружина сжатия; б — фрагмент пружины с возникающими внутренними усилиями; в — эпюра напряжений хм ; г — эпюра напряжений т^; д — эпюра напряжений ттах

Приведем значения коэффициента к в зависимости от индекса пружины [25, 26].

Сп

4

5

6

8

10

12

к

1,37

1,29

1,24

1,17

1,14

1,11

Для определения изменения высоты пружины X под действием силы /•’можно воспользоваться формулой [25, 26]:

х==ЬГ, (6.30)

/ иа

где Ь = ^П<*х/С,а — коэффициент податливости пружины; п — число

/ бт/

витков пружины.

Пример 6.11. Определить максимальные напряжения и осадку пружины сжатия, если диаметр стальной проволоки пружины с/ = 5 мм, индекс пружины Сп = 6, число витков п = 8, действующая на пружину сила ^=600 Н,

Найдем средний диаметр пружины:

с1 = Спс1 = 6-5 = 30 мм.

т =

^ шах

л0,005

Ш*/,/ _ 1,24-8 600-0,03 /я3 -

з=455 106 Па =455 МПа

Осадку пружины X найдем из (3.30):

^ = 8^,3/ 8-8-600 0,03/ = 20,8• 10-3 м.

(74 /8 10ІО-0,0054

_8 8-600 0,03

Пример 6.12. Определить требуемое число витков пружины п, если действующая на пружину сила Т7 = 380 Н, диаметр стальной проволоки с1= 5 мм, индекс пружины Сп = 8 и осадка пружины не должна превышать ?ітах = 40 мм.

Вычислим средний диаметр пружины:

с1{ =с1Сп =5-8 = 40 мм.

или

По условию X < А.тах

откуда

Подставляя числовые значения, получаем

<8-1010 • 0,0054 • 0,04 /

/8-380-0,043

Принимаем п — 10.

Контрольные вопросы

  • 1. Какой вид нагружения называется кручением?
  • 2. Какие напряжения возникают в поперечных сечениях вала при кручении? Каков закон их изменения? По каким формулам определяются напряжения в произвольной точке и максимально нагруженной точке?
  • 3. Какие допущения положены в основу вывода формулы для касательных напряжений, возникающих в поперечном сечении вала при кручении?
  • 4. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке стержня круглого сечения при кручении?
  • 5. В каких точках стержня круглого сечения возникают наибольшие касательные напряжения? Как их вычисляют?
  • 6. По каким формулам вычисляют полярные моменты инерции и сопротивления для круглого и кольцевого сечений?
  • 7. Как распределяются касательные напряжения по поперечному сечению вала?
  • 8. Как составляют условия прочности и жесткости для валов при кручении?
  • 9. Какими перемещениями сопровождается кручение? Назовите формулу для определения перемещений при кручении.
  • 10. Напишите формулы для определения ]р и Мр для круга и кольца.
  • 11. Изменятся ли максимальные касательные напряжения и максимальный угол поворота сечения, если заменить материал стержня, например сделать его из сплава алюминия, а не из стали?
  • 12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал с кольцевым поперечным сечением легче, чем вал со сплошным круглым сечением?
  • 13. Какой из стержней с тонкостенным сечением имеет большее сопротивление кручению: с замкнутым или незамкнутым профилем?
  • 14. Какие напряжения возникают в сечении витка цилиндрической винтовой пружины, нагруженной осевой силой? Как они определяются?
  • 15. Как вычислить осадку цилиндрической винтовой пружины?
  • 16. Что такое индекс пружины?
  • 17. Как изменятся касательные напряжения в пружине, если диаметр проволоки изменить в два раза?
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >