МНОЖЕСТВЕННОСТЬ ОЦЕНОК ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ

ВЗАИМНЫЕ ЗАДАЧИ КАК МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Взаимные оптимизационные задачи — это пара задач скалярной оптимизации народнохозяйственного плана, в которых с разных сторон отыскивается наилучшее распределение дефицитных ресурсов. Максимизируемая в одной из задач целевая функция образует ограничивающее условие (ограничение) для другой. И наоборот, минимизируемая целевая функция второй задачи служит ограничением для первой задачи.

Суть использования аппарата взаимных задач кратко можно сформулировать следующим образом.

Исходная задача (обозначим ее А) заменяется при необходимости по специальным правилам на соответствующую ей взаимную задачу (задача /?); решение же последней позволяет отыскать оптимальный план исходной задачи.

Теория взаимных оптимизационных задач имеет в экономикоматематическом моделировании разнообразное применение. Нередко оказывается, что задачи, являющиеся взаимными, принадлежат разным классам задач математического программирования (например, А — задача квадратического программирования, а В — линейного). Тогда решение более сложной задачи можно свести к решению задачи более простой математической структуры.

Достаточно часто целевые функции конкретных моделей не могут быть выражены в аналитическом виде, т.е. количественно. В этом случае использование теории взаимных задач может обеспечить решение такой не решаемой обычными методами модели.

Понятие взаимных задач, кроме того, позволяет установить эквивалентность двух основных модификаций оптимизационных экономико-математических моделей: максимизации результата (конечной продукции) при ограниченных ресурсах и минимизации затрат ресурсов на производство заданного объема конечной продукции. Преимущества же критерия минимизации затрат ресурсов очевидны: измерение затрат на производство различных продуктов и услуг является гораздо более легкой задачей, чем систематизация наборов экономических благ по их общественному полезному эффекту. Решение народнохозяйственных задач с рассматриваемым критерием позволяет оценивать эффективность тех или иных хозяйственных мероприятий величиной сэкономленных затрат, т.е. оперировать привычными показателями, широко используемыми в локальных экономических расчетах.

Рассмотрим основные положения теории взаимных задач как в общем виде, так и проиллюстрированные конкретным числовом примером.

Исходная задача Л может быть записана в этом случае следующим образом.

Из множества всех видов используемых ресурсов выделим дефицитные ресурсы. Ресурс называется дефицитным, если любое изменение его количества ведет к изменению оптимального значения целевой функции модели. Вопрос о выделении из всего множества используемых в модели ресурсов устойчиво дефицитного решается в каждом конкретном случае на качественном концептуальном уровне. В масштабе, например, народного хозяйства в целом таким ресурсом может являться труд. Исключительное положение трудовых ресурсов среди всех других ресурсов объясняется рядом причин.

Во-первых, количество трудовых ресурсов в каждый данный момент времени ограничено, и их увеличение мало зависит от развития экономики (почти не зависит в пределах 15-летнего планового периода).

Во-вторых, трудовые ресурсы являются наиболее универсальным ресурсом, так как относительный избыток трудовых ресурсов в одной какой-нибудь сфере деятельности может быть направлен в другие сферы деятельности.

В-третьих, в рационально и справедливо организованном обществе одним из важнейших факторов повышения благосостояния и развития членов общества является увеличение свободного времени трудящихся за счет сокращения рабочего времени (свободное время является компонентом вектора, на котором определяется целевая функция благосостояния экономической системы).

Поэтому экономия труда (в отличие от экономии других производственных ресурсов) не только создает предпосылки для ускорения развития экономики страны, но и может непосредственно увеличивать уровень благосостояния населения страны.

Замечательным свойством дефицитного ресурса / . является его полное использование в оптимальном плане х , что обращает неравенство ^/деф (х) < 6/деф в строгое равенство.

Выделим из всех ограничивающих условий для специального рассмотрения ограничение по одному (любому) дефицитному ресурсу и обозначим его И(х) = а, подчеркнув еще раз, что h(x ) = а. Тогда исходная задача А запишется следующим образом.

Обозначим оптимальное значение целевой функции исходной задачи f(xop,) = C и сформулируем условия[1] перехода от исходной задачи А к взаимной по отношению к ней задаче В.

  • 1. Зафиксировать оптимальное значение С целевой функции исходной задачи А и ввести ограничение f(x)>C в систему ограничений взаимной задачи В.
  • 2. В качестве минимизируемой целевой функции взаимной задачи В взять функцию затрат дефицитного ресурса h(x) исходной задачи А.

Тогда задача В (взаимная) запишется следующим образом.

Решение взаимной задачи В, как следует из вышеизложенного, предполагает знание в общем случае априори неизвестного максимально достижимого уровня С целевой функции исходной задачи А. Однако теория взаимных задач позволяет решать соответствующие задачи в итеративном режиме параметрического программирования относительно возрастающего параметра С.

Укрупненный алгоритм расчета может быть при этом следующим.

  • 1. Экспертным путем (либо на основании опыта лица, принимающего решения) задается первоначальная оценка оптимального значения целевой функции исходной задачи С.
  • 2. Решается взаимная задача В, в результате отыскивается ее оптимальный план xJ'(C).
  • 3. С использованием замечательного свойства дефицитного ресурса осуществляется проверка найденного в п. 2 решения на оптимум (исходной задачи). Признаком его нахождения будет выполнение строгого равенства h[x°Bp{ (С) = а, т.е. полное использование дефицитного ресурса. В этом случае х°Ц* =хор1 и процесс решения заканчивается. В противном случае — переход к п. 4.
  • 4. Корректировка оценки оптимального значения целевой функции исходной задачи и переход к п. 2.

Очевидно, что реализация четвертого этапа алгоритма должна обеспечивать максимальную эффективность работы алгоритма с точки зрения его сходимости к оптимальному решению. Скорость сходимости алгоритма является одним из важнейших показателей качества экономико-математических моделей: обычно она оценивается количеством итераций, необходимых для получения искомого решения.

Читателю предлагается самостоятельно найти оптимальный план исходной задачи, решив взаимную задачу, начиная с первоначальной оценки С = 6. Решение провести графически, предложив концепцию корректировки С с целью повышения скорости сходимости алгоритма.

  • [1] Общая теорема взаимности сформулирована и доказана А. Г. Аганбегяноми К.А. Багриновским.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >