ПОРТФЕЛИ ТОБИНА

Ситуация кардинально меняется, если на рынке есть безрисковая ценная бумага. Предполагается, что доходность безрисковой бумаги — случайная величина, не коррелированная с доходностью других (рисковых) бумаг. Поэтому при наличии безрисковой бумаги в матрице ковариаций появляются нулевые строка и столбец, в силу чего рассуждения, использованные при рассмотрении портфелей Марковица, становятся неверными. Эффективность безрисковой бумаги обозначим р^и будем считать ее положительной.

Портфель Тобина минимального риска из всех портфелей заданной эффективности

Итак, предположим, что вместе с п рисковыми активами портфель инвестора включает безрисковую бумагу с детерминированной доходностью if = Rf и долей в портфеле, составляющих xf. При этом задача (5.57)—(5.59) будет выглядеть следующим образом:

при условиях

Выражение для квадрата риска не изменилось из-за свойства безрисковости добавленного актива. В этом случае, впервые рассмотренном Тобином, вид минимальной границы изменится.

Прежде всего переформулируем задачу (5.119)—(5.121). Для этого исключим переменную Xj.из соотношений, умножив (5.121) на р^и вычтя из (5.121):

Для решения задачи (5.119), (5.122) составим функцию Лагранжа и запишем для нее необходимые условия экстремума:

Выразим Xиз первого уравнения системы (5.103) и подставим во второе

Обозначим

Это определение корректно, поскольку векторы Д и I не колли- неарны, а матрица V~l положительно определена. Поэтому из (5.124)

искомый вектор рисковых долей, безрисковая доля находится следующим образом из соотношения (5.121)

Теперь нетрудно найти уравнение минимальной границы. Для этого достаточно подставить найденное X в выражение для квадрата риска

Таким образом, уравнение минимальной границы

Обычно предполагают, что ожидаемая доходность портфеля должна быть не меньше доходности безрискового актива, т.е. р^Ру. В противном случае следовало бы сформировать портфель только из него одного. Поэтому уравнение (5.128) превращается в линейное

Докажем, что прямая (5.129) является касательной к графику минимальной границы (5.69). Для доказательства найдем точки пересечения гиперболы (5.69) и прямой (5.129), решая совместно их уравнения, и убедимся, что такая точка одна. Приравнивая правые части (5.128) и (5.69), получим

Далее получим квадратное относительно р уравнение и найдем его корни

Дискриминант данного уравнения равен нулю

Это доказывает, что прямая (5.129) является касательной к графику минимальной границы (5.69).

Найдем теперь координаты точки касания (координаты касательного портфеля).

Итак, эффективность касательного портфеля рт равна

Подставляя найденное значение эффективности рт в уравнение касательной, найдем риск касательного портфеля ог

Итак, для координат касательного портфеля имеем

При этом сам касательный портфель Тнаходится из (5.126) подстановкой р = рт:

Показать, что прямая (5.129) является касательной к графику минимальной границы (5.69) можно и геометрически (рис. 5.6). Всякий минимальный портфель является линейной комбинацией безрискового актива и рисковой части, лежащей на минимальной границе. Поэтому всякая такая точка лежит на луче FA, где точка F соответствует безрисковому активу. Можно переместиться вдоль горизонтальной оси из точки А в точку В, лежащую на касательной FT, у которой риск такой же, а доходность выше. Поэтому касательная FT является искомой минимальной границей.

В. Минимальная граница портфеля Тобина, касательный портфель

Рис. 5.В. Минимальная граница портфеля Тобина, касательный портфель

Отметим, что точки минимальной границы представляются в виде линейной комбинации

причем при движении точки от / до Т параметр X меняется от 1 до 0. Пример 5.6

Портфель состоит из трех бумаг: безрисковой с эффективностью (ожидаемой доходностью) 5% и двух рисковых с эффективностью

соответственно 10% и 15% и ковариационной матрицей

Задача — найти портфели Тобина ожидаемой доходности 10, 11 и 12% и минимального риска и их риски.

Из (5.125) и (5.126) имеем для параметра d и искомого портфеля X следующие выражения

Здесь

Вычислим параметр d:

Теперь можно найти портфель X.

Таким образом, портфель ожидаемой доходности 10% и минимального риска имеет вид

Его риск равен

Отметим, что риск портфеля меньше риска каждой из рисковых бумаг, которые равны V9 = 3 и л/36 = 6 соответственно для первой и второй бумаг.

Здесь

Параметр d по-прежнему равен 4,38.

Найдем портфель X.

Таким образом, портфель ожидаемой доходности в 11% и минимального риска имеет вид X = (0,6;0,3;ху = 0,l). Его риск равен

Отметим, что, несмотря на увеличение требуемой доходности на 1%, риск портфеля остается меньше риска каждой из рисковых бумаг.

3. Здесь

Вычислим параметр d:

Теперь можно найти портфель X.

Сумма долей уже рисковых активов превышает 1, поэтому сформировать портфель Тобина ожидаемой доходности 12% (и выше) и минимального риска не удается.

Пример 5.7

Используя условия предыдущего примера, найти касательный портфель, его ожидаемую доходность и риск.

Итак, портфель состоит из трех бумаг: безрисковой с эффективностью (ожидаемой доходностью) 5% и двух рисковых с эффективностью соответственно 10 и 15% и ковариационной матрицей

Искомый касательный портфель Тимеет вид (5.135) а для его координат из (8.134) имеем

Из (5.125) имеем для параметра d следующее выражение

Найдем константы

Здесь

Найдем теперь координаты касательного портфеля Т:

Итак, касательный портфель равен Т = (0,66; 0,33), т.е. он включает 66% первой бумаги и 33% второй бумаги и практически не включает безрисковую бумагу.

Отметим, что риск касательного портфеля, ст = 3,18, чуть выше риска первой бумаги (а, = 3) и почти вдвое меньше риска второй бумаги (а2 =6).

Доходность касательного портфеля рг =11,6% является максимальной доходностью, при которой можно сформировать портфель с минимальным риском.

Учитывая в дополнение результаты предыдущего примера, можно сделать очевидный вывод, что с ростом доходности с 10 до 12% риск портфеля растете 2,4 (прир = 10 %) до 2,88% (прир = 11%) и далее — до 3,18% (прир = 11,6% у касательного портфеля). А при р>11,6% сформировать портфель минимального риска уже не удается.

Портфель максимальной эффективности из всех портфелей риска не более заданного

Наряду с задачей Тобина (5.119)—(5.121) рассмотрим оптимизационную задачу [21, 57]:

при условиях

Для решения задачи рассмотрим плоскость (р, о) (в переменных эффективность—риск) (рис. 5.7). На этой плоскости изобразим ломаную

где

На рис. 5.7 множество портфелей для рассматриваемой ситуации заштриховано.

К нахождению портфеля максимальной эффективности из всех портфелей риска, не более заданного [57]

Рис. 5.7. К нахождению портфеля максимальной эффективности из всех портфелей риска, не более заданного [57]

Итак, если фиксировать эффективность портфеля р , то низшая точка заштрихованного множества, лежащая на соответствующей вертикали, есть портфель Тобина — решение задачи (5.119)—(5.121). Если же фиксировать риск портфеля о , то самая правая точка заштрихованного множества, лежащая не выше соответствующей горизонтали, т.е. в точности на ней, даст, очевидно, решение задачи (5.136)—(5.138), т.е. портфель максимальной эффективности и ограниченного риска. Из (5.129) находим

После этого для найденного р по формуле (5.126) находим искомый портфель X.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >