Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Статистика arrow Общая теория статистики

Вероятность события

Вероятность события — это мера его объективной возможности. Но данное определение вероятности не является математическим, так как не дает возможности оценить вероятность количественно. Существует несколько математических определений вероятности. Самыми старыми из этих определений являются статистическое и классическое определения.

Статистическое определение вероятности. Предположим, что мы можем проводить некоторый опыт со случайным исходом (например, бросание монеты на некоторую поверхность) неоднократно, примерно в одних и тех же условиях. В результате этого опыта может появиться событие А = {выпал герб}.

Определение. Относительной частотой (или, как говорят в статистике, частостью) события А (/(А)) называется отношение числа опытов р (его называют в статистике частотой события А), в которых появилось событие А, к общему числу проведенных опытов (п), т. е.

Практика показывает, что для широкого круга случайных явлений при неограниченном увеличении числа опытов, т. е. при п —^ оо, относительная частота события А стабилизируется и по вероятности приближается к некоторому неслучайному числу. Например, при бросании монеты относительная частота появления орла при неограниченном увеличении числа опытов стремится к числу 0,5. Приведем свойства относительной частоты события А.

1) /(U) = 1, так как р = 1.

2) /(0) = 0, так как р = 0.

3) 0 < /(А) < 1, т. е. относительная частота случайного события заключена между нулем и единицей и в частном случае может быть нулем или единицей.

4) Если события А,, А0, ... А несовместны, то выполняется равенство

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события А (Р(А)) называется число, около которого колеблется относительная частота события А (/(А)) при неограниченном увеличении числа опытов (п —» оо). То есть можно записать

или

где s > 0 — малое положительное число.

Устойчивость относительных частот при большом количестве испытаний является следствием закона больших чисел.

Характер приближения относительной частоты к вероятности при п —» оо отличается “от стремления к пределу” в математическом анализе.

Нет ничего невозможного в том, что относительная частота события при п —» оо сильно отклонится от ее вероятности, но такое отношение настолько маловероятно, что его можно не принимать в расчет.

Заметим, что все свойства относительных частот верны и для вероятностей.

Классическое определение вероятности. Оно было впервые четко сформулировано в работе швейцарского математика Якоба Бернулли, опубликованной в 1713 г. Введем понятие равновозможного события. События называются равновозможными, если по условиям обыта ни одно из них не является предпочтительным по отношению к другим с точки зрения возможности их появления.

В этом случае опыт будет обладать симметрией исходов по отношению к этим событиям.

Классическое определение вероятности можно использовать только в том случае, если опыт будет классическим. Опыт называется классическим, если он приводит к множеству событий, которые удовлетворяют условиям:

1) они попарно несовместны;

2) равновозможны;

3) образуют полную группу событий.

Такие события называются случаями и обозначаются со. Заметим, что они могут быть элементарными событиями.

Определение. Если опыт является классическим, то вероятность события А (Р(А)) находится как отношение числа случаев, благоприятствующих событию А (т), к общему числу случаев (г^).

Формула (2.4) дает возможность непосредственно вычислять вероятности, но недостатком ее является то, что в реальной действительности классические опыты встречаются редко в искусственно созданных ситуациях. Примером классического опыта является игра в кости, которые перед каждым броском тщательно перемешиваются, чтобы соблюдалась равновозможность наблюдаемых событий. Если мы бросаем одну игральную кость, то вероятность появления каждой ее грани равна 1/6.

Классический опыт может быть организован по так называемой урновой схеме. Под урной понимают некоторый ящик, в котором находятся одинаковые по весу и размерам шары различных цветов. После перемешивания шары вынимаются из урны случайным образом. Поэтому вероятность вытащить какой-либо шар из п шаров будет равна 1 /п.

Для подсчета числа возможных исходов классического опыта часто используют формулы комбинаторики, в частности формулы числа сочетаний из п элементов по т:

- без повторений:

где п! — читается n-факториал и вычисляется по формуле n! = 1 х 2 х 3... х п;

- с повторениями:

Пример 2.1

Предположим, что в урне находятся 9 шаров: четыре красных шара и пять синих шаров. Из нее вынимаются два шара. Надо найти вероятность того, что оба они будут красными.

Введем событие А = {оба шара красные} и используем формулу (2.4):

Здесь т = С — количество исходов, благоприятствующих событию А; п1 = Сд — общее количество исходов.

Аксиоматическое определение вероятности. Как и другие разделы математики, теорию вероятностей можно развивать аксиоматическим методом.

Аксиоматическое построение теории вероятностей было осуществлено в 30-х гг. XX в. А. Н. Колмогоровым. Приведем его упрощенное определение.

Вероятностью называется функция событий, которая порождена некоторым опытом и имеющая следующие свойства:

1) вероятность достоверного события равна единице P(U) = 1;

2) вероятность невозможного события равна нулю Р(0) = 0;

3) вероятность случайного события лежит между нулем и единицей, в частности принимая значение ноль и единица 0 < Р (А) < 1;

4) если события Av А2,... Ап попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей

5) Если счетное бесконечное число событий Av А2,„. Ап, ... попарно несовместно, то вероятность их суммы равна суме их вероятностей, т. е.

Аксиома 5 вводится отдельно, так как она не выводится из четвертой.

Кроме приведенного существуют и другие аксиоматические определения вероятности.

Аксиоматическое определение, в отличие от статистического и классического, не позволяет непосредственно вычислять значение вероятности, но из него вытекает ряд следствий. Например, можно получить формулу (2.4), установить, что сумма вероятностей полной группы событий равна единице, т. е.

В частности получаем

т. е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Субъективное определение вероятности. В тех случаях, когда проводимый опыт не является классическим и отсутствуют данные статистических наблюдений или их недостаточное количество для оценки вероятности, прибегают к экспертному оцениванию вероятности на основе мнения экспертов.

Определение. Субъективным определением вероятности называются вероятности, удовлетворяющие аксиомам 1-5 аксиоматического определения, которые приписываются событиям на основе мнения экспертов.

Как правило, в оценке вероятности события участвуют несколько экспертов, и их мнения усредняют, учитывая опыт каждого из них. Оценка экспертов важна в тех случаях, если планируемый исход связан с большими материальными затратами.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 
Популярные страницы