Алгебра вероятностей

Рассмотрим правила, которые позволяют по вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

Сначала введем понятие условной вероятности. Предположим, что А и В — события, являющиеся результатом некоторого опыта, причем наступление события А зависит от появления события В. Понятие условной вероятности вводится для характеристики зависимости одних событий от других.

Определение. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятности произведения событий А и В к вероятности события В, если последняя отлична от нуля. Обозначается условная вероятность события А следующим образом: Р(АВ). И согласно определению, она равна

Аналогично условная вероятность события В при условии, что произошло событие А обозначается следующим образом: Р(ВА) и находится по формуле

Из формул (2.7.) и (2.8) следует правило умножения вероятностей для двух любых событий:

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло. Используя формулу (2.9), получим правило умножения вероятностей для трех событий Aj, А2, А3:

В формуле (2.10) Р(А3А1 х А2) означает условную вероятность события А , если произошли события Ахи А2.

Используя принцип математической индукции, можно обобщить формулу (2.10) на любое конечное количество событий.

В результате получаем

Правило умножения вероятностей значительно упрощается, если события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется не зависимым от события А, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. Р(ВА) = Р(В).

Аналогично, событие А называется не зависимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. Р(АВ) = Р(А).

Лемма. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависти от события В.

Если события А и В независимы, то правило умножения вероятностей (2.9) примет вид

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Определение. События А , А , А3... Ап называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных и от каждого в отдельности.

Правило умножения вероятностей (2.11) в этом случае примет вид:

или более кратко

т. е. вероятность произведения конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2.2

Предположим, что студентка основательно проштудировала 70 из 90 вопросов к экзамену по теории вероятностей и математической статистике. В каждом билете содержатся 3 вопроса. Найти вероятность того, что в билете, который вытащит студентка, она будет знать ответы на все три вопроса.

Введем 3 события:

А1 = {студентка знает ответ на первый вопрос билета}.

А А = {студентка знает ответ на второй вопрос билета при выполнении события AJ.

AgXAj х А2 = {студентка знает ответ на третий вопрос билета при выполнении событий Аг и AJ.

Используя формулу (2.10) находим

Вероятности находятся по

формуле (2.4).

Теперь получим правило сложения для совместных событий.

Если рассматриваемые события попарно несовместны, то для нахождения вероятности их суммы используется четвертая аксиома аксиоматического определения вероятности.

Сначала рассмотрим правила сложения для двух совместных событий.

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения, т. е.

Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в любом учебнике по теории вероятности, например [1,8, 25]. Используя формулу (2.14), получим правило сложения для трех совместных событий Av А2, А3:

Используя метод математической индукции, получим правило сложения вероятностей для любого конечного количества совместных событий.

Часто при больших п вместо формулы (2.16) используют равенство

где At — событие, противоположное событию А..

Если события А1? А2,... Ап взаимно независимы, то равенство (2.17) примет вид

Пример 2.3. Задача де Мере.

Найти вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок при 24 бросаниях пары игральных костей.

Данный опыт является классическим, поэтому вероятность выпадения двух шестерок пои одном бросании пары игральных костей будет равна

Перейдем к противоположному событию, т. е. найдем вероятность того, что при одном бросании пары игральных костей две шестерки не выпадут.

По формуле (2.6) получим (1 - 1/36). А вероятность того, что это событие не случится ни разу при 24 бросаниях в соответствии с формулой (2.13) будет равна

Поэтому по формуле (2.18) вероятность того, что две шестерки выпадут хотя бы один раз при 24 бросаниях, будет равна 1 - (1 - 1/36)24 * 1 - 0,507 = 0,493.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >