Понятие о нормальном распределении
Нормальное распределение, или закон Гаусса, играет очень важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Закон Гаусса является предельным законом, к которому приближаются при соблюдении определенных условий другие законы. Он наиболее часто встречается на практике.
Доказывается, что сумма достаточно большого количества независимых или слабозависимых случайных величин, сравнимых по степени своего влияния на рассеивание суммы, распределена приблизительно по нормальному закону, несмотря на то что составляющие этой суммы подчинены любым законам распределения. Большое количество встречающихся на практике случайных величин, например случайные ошибки наблюдений в естественных и технических науках, ошибки стрельбы и др., могут быть представлены как сумма большого числа слагаемых, каждое из которых вызвано действием какой-то одной причины, не зависящей от остальных. Составляющие суммы имеют различные распределения, но их сумма неограниченно приближается к нормальному. Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами т и а, если ее плотность распределения имеет вид:
Кривая распределения имеет холмообразный симметричный вид (рис. 2.16)
Рис. 2.16
Максимум функции распределения f(x) достигается в точке с координатами
Этот результат можно получить,
используя методы дифференциального исчисления. Следовательно, мода нормального распределения равна га. Используя формулы (2.31) и (2.38) можно доказать (см., например, [8]), что М[Х] = га, a D[X] = ст2, т. е. параметр га — это математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X, а дисперсия случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равна а2.
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X попадает на интервал (а; Ъ), равна
В формуле (2.44) Ф0(х) — нормированная функция Лапласа, вычисляемая по формуле
Для функции Ф0(х) составлены таблицы (см. приложение 5). Заметим, что в приложении 5 приведены значения
Нормированная функция Лапласа Ф0(х) имеет следующие свойства:
Очень просто через нормированную функцию Лапласа выражается вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал длиной 2d, симметричный относительно га (рис. 2.17).
Искомая формула имеет вид:
Через функцию Лапласа можно выразить и функцию распределения нормально распределенной случайной величины X.
Рис. 2.17
Имея в виду формулу (2.44) и учитывая, что F0(-oo) = -0,5, получим:
Если т = 0,аа=1,то формула для плотности нормального распределения (2.43) примет вид:
Она называется функцией Гаусса и для нее составлены таблицы (см. [25]).
