Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Статистика arrow Общая теория статистики

Понятие о предельных теоремах

Кратко рассмотрим предельные теоремы, которые устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом количестве опытов. Предельные теоремы подразделяют на две группы:

1) группа закона больших чисел;

2) группа центральной предельной теоремы.

Кратко рассмотрим группу закона больших чисел. Его физическое содержание можно сформулировать следующим образом: при большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под законом больших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближений средних характеристик большого числа экспериментов к определенным неслучайным величинам.

Все теоремы закона больших чисел опираются на неравенство Чебышева, которое мы и проводим.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание М[Х] и дисперсию D[X], то для Vs > О справедливо неравенство:

Неравенство (2.80) отграничивает вероятности больших отношений случайной величины X от ее математического ожидания.

Для противоположного события неравенство Чебышева принимает вид:

Неравенства (2.80) и (2.81) можно использовать для нахождения оценок вероятности отклонения наблюдаемой случайной величины от своего математического ожидания, если неизвестен закон распределения.

Пример 2.6

Определить вероятность того, что случайная величина X, имеющая произвольный закон распределения, отклонится от своего математического ожидания на величину, не выходящую за пределы ±За[Х].

Принимая в формуле (2.81) s = За[Х] получаем

Для любой случайной величины X вероятность выполнения правила Зст[Х] будет не ниже 8/9.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность попадания случайной величины в интервал |Х - М[Х]| < За[Х] будет равна 0,997.

Теорема Чебышева (иногда ее называют законом больших чисел).

Предположим, что производится п независимых измерений случайной величины X, которая имеет конечные математическое ожидание М[Х] и дисперсию D[X]. Измерения равноточны и не имеют систематических ошибок. В этом случае при неограниченном увеличении количества измерений п среднее арифметическое результатов измерений х. сходится по вероятности к математическому ожиданию этой случайной величины, т. е.

где s > 0.

Из формулы (2.82) следует, что при достаточно большом количестве наблюдений п существенные отклонения по абсолютной величине среднего арифметического результатов измерений от математического ожидания маловероятны. Поэтому при большом количестве наблюдений можно заменять неизвестное математическое ожидание средним арифметическим.

Теорема Бернулли. Это теорема доказывает устойчивость относительной частоты случайного события, а это позволяет применять на практике статистическое определение вероятности наступления события.

При неограниченном возрастании числа независимых опытов п, производимых в одних и тех же условиях, относительная частота события А (/(А)) сходится по вероятности к вероятности этого события Р(А), т. е.

где 8 > 0.

Из теоремы Бернулли следует, что при большом количестве наблюдений относительную частоту появления случайного события можно принимать за вероятность этого события.

Теперь кратко рассмотрим группу теорем центральной предельной теоремы. Она имеет ряд форм, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и ее предельной формой — нормальным законом распределения.

Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых Xv Х2,..., Хп. Чем эти условия жестче, тем проще доказывается теорема.

Теорема. Если Хр Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, которые имеют одно и то же распределение с математическим ожиданием М[Х] и дисперсией D[X], то при увеличении п закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Теорема Ляпунова. Предположим, что Хх, Х2, ..., Хп — независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями D[XJ, D[X2],..., D[XJ,

причем n —» оо.

Ляпунов доказал, что при п —» оо закон распределения случайной величины неограниченно приближается к нормальному.

Смысл условия (2.84) состоит в том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы было бы велико по сравнению с влиянием всех остальных. Также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

Вопросы для самопроверки

1. Каков предмет теории вероятностей?

2. Дайте определение суммы и произведения нескольких случайных событий.

3. Приведите классическое определение вероятности.

4. Приведите статистическое определение вероятности.

5. Приведите аксиоматическое определение вероятности.

6. Каковы правила действия с вероятностями?

7. Дайте определения случайной величины.

8. Что такое функция распределения случайной величины?

9. Что такое плотность распределения случайной величины?

10. Расскажите о числовых характеристиках случайной величины.

11. От каких параметров зависит нормальное распределение?

12. Дайте определение системы случайной величины.

13. Какие формы закона распределения случайных величин вы знаете?

14. Какие числовые характеристики системы случайных величин вы знаете?

15. В чем состоит суть закона больших чисел?

16. В чем состоит суть центральной предельной теоремы?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 
Популярные страницы