Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Статистика arrow Общая теория статистики

Показатели вариации

Средняя величина не позволяет судить о тех колебаниях (вариациях), которым подвергается изучаемый признак в данной совокупности. Одних средних величин для анализа недостаточно. Совершенно разные по своему разбросу вокруг среднего совокупности могут иметь одну и то же среднюю арифметическую. Для нахождения величин вариации в статистике применяют специальные показатели, которые называют показателями вариации. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, так как помогает понять сущность изучаемого явления.

Перечислим основные показатели вариации и приведем формулы для их вычисления.

Для характеристики размера вариации в статистике применяют абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, средне квадратическое отклонение, дисперсию.

Размах вариации -— разность между максимальными и минимальными значениями признака в изучаемой совокупности, т. е.

Размах вариации легко находится по рангам ранжированного ряда распределения.

Более точно характеризует вариацию среднее линейное отклонение, которое находится как среднее арифметическое отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений, т. е.

Если исходные данные сгруппированы, то мы можем находить взвешенное среднее линейное отклонение, причем в качестве веса можно применять и частоту (ц), и относительную частоту (/).

Более объективно на практике меру вариации отражает дисперсия (средний квадрат отклонений). О ней говорилось в главе 2. В данном случае речь идет об оценки дисперсии, так как значения вероятностей не известны.

Если мы имеем несгруппированный ряд распределения, то дисперсия определяется формулой

Заметим, что оценка дисперсии, получаемая по формуле (6.28) является смещенной. Пользуясь ей, мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Несмещенная оценка для дисперсии находится по формуле

Как правило, формула (6.30) применяется в тех случаях, когда изучаемая совокупность невелика, не более 40 единиц. В тех случаях, когда п > 40, используют формулу (6.29).

Когда исходные данные сгруппированы, вычисляют взвешенные оценки дисперсии

Извлекая из дисперсии арифметический квадратный корень, получаем еще одну характеристику (о ней тоже говорилось в главе 2) -— среднее квадратичное отклонение, или стандарт (точнее его оценку).

Если изучаемая совокупность достаточно велика, то ее, как правило, разбивают на группы по какому-либо признаку. Поэтому наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом можно изучать вариации для каждой составляющей ее группы, а также между самими группами. Если совокупность расчленяется по какому-то одному фактору, то изучение вариации достигается путем нахождения и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой, внутригрупповой.

Общая дисперсия (Dx) определяет вариацию по всей совокупности под влиянием всех факторов, которые обусловили эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней арифметической ар) и вычисляется по формулам (6.29), (6.31), (6.32).

Межгрупповая дисперсия ФХмг) характеризует систематическую вариацию результативного порядка, который обусловлен влиянием признака, положенного в основу группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних харгр от общей средней арифметической хар, т. е.

где, к — количество групп;

ц. — частота (количество единиц) в группе г;

/. — относительная частота группы г.

Внутригрупповая дисперсия DXez отражает случайную вариацию (часть вариации), обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависимую от признака, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х. от средней арифметической этой группы харгр и находится по формулам:

если группа содержит не более 40 наблюдений;

если группа содержит более 40 наблюдений — количество единиц в конкретной группе).

Применяются и формулы для взвешенной дисперсии:

Найдя внутригрупповые дисперсии по каждой группе можно вычислить среднюю из внутригрупповых дисперсий по формулам:

или используя соотношение (6.13).

По правилу сложения дисперсий общая дисперсия должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий, т. е.

Вариация качественного (альтернативного) признака (признак, которым каждая единица совокупности может обладать или не обладать) находится с помощью дисперсии:

где S — доля единиц совокупности, обладающая качественным признаком;

v — доля единиц совокупности, не обладающая качественным признаком.

Заметим, что S + v = 1.

Среднее квадратическое отклонение качественного признака находится по формуле

Например, если на 10000 населения районного центра 3500 имеют высшее образование, а 6500 не имеют, то

Дисперсия качественного признака равна

Максимальное значение дисперсии качественного признака получается в том случае, если S = v = 0,5. Оно будет равно 0,25.

Для характеристики меры разброса изучаемого признака находятся показатели вариации в относительных единицах. Некоторые из них мы приведем.

Коэффициент осцилляции отражает относительный разброс крайних значений вокруг средней арифметической

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней арифметической, т. е.

Коэффициент вариации, представляющей собой относительное квадратическое отклонение, т. е.

По величине коэффициента вариации можно судить об интенсивности вариации признака, а поэтому и об однородности состава изучаемой совокупности. Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней арифметической, а соответственно, тем больше неоднородность совокупности. Имеется шкала определения степени однородности совокупности в зависимости от значения коэффициента вариации:

- если Vx < 30%, то совокупность считается однородной;

- если 30% < Vx < 60%, то совокупность считается средней;

- если Vx > 60%, то совокупность считается неоднородной.

Заметим, что приведенная шкала достаточна условна.

Основными характеристиками формы распределения являются асимметрия и эксцесс. О них достаточно подробно говорилось в главе 2. Здесь речь пойдет об их оценках, так как количество измерений конечно и вероятности неизвестны. Обозначать асимметрию (скос) и эксцесс будем теми же буквами, что и в главе 2, но сверху будем добавлять тильду (~).

Для оценки степени асимметричности распределения обычно применяют моментный коэффициент асимметрии, который находится по формуле

где Дз — оценка третьего центрального момента, которую можно определить по формулам:

Степень существенности коэффициента асимметрии оценивается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, который зависит от объема изучаемой совокупности (п) и находится по следующей формуле:

Если отношение , то асимметрия считается существенной, а если , то асимметрию можно признать несущественной, вызванной влиянием случайных причин.

Главный недостаток моментного коэффициента асимметрии Ах состоит в том, что его величина зависит от нахождения в совокупности резко выделяющихся вариант. Для таких совокупностей этот коэффициент пригоден мало, так как его большая (абсолютная) величина объясняется преобладающим вкладом в величину оценки третьего центрального момента нетипичных значений, а не асимметричностью распределения основной части вариант.

В таких случаях рекомендуют либо исключить из анализа резко отличающиеся варианты, либо применять структурные показатели асимметрии.

Структурные коэффициенты асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т. е. основной массы вариант и в отличие от моментного коэффициента асимметрии не зависят от крайних значений признака.

Как правило, применяют структурный коэффициент асимметрии, предложенный К. Пирсоном:

Другая характеристика формы распределения — это эксцесс. Его оценку в статистике можно получить по формуле

где Д4 — оценка четвертого центрального момента, которую можно найти по формулам

Для оценки существенности эксцесса распределения находят среднюю квадратическую ошибку эксцесса:

Если отклонение то отклонение от нормального

распределения считается существенным, в противном случае оно признается незначительным и объясняется случайными причинами.

Теперь приведем конкретный расчетный пример, в котором определим ряд характеристик, приведенных выше, а также затронем вопросы, не разобранные в этой главе. В этом случае наряду с вычислениями рассмотрим кратко и некоторые необходимые теоретические вопросы.

Заметим, что приводимый пример является чисто учебным, данные для него взяты, как говорится, “с потолка”. Кроме того, рассматриваемый ряд наблюдений содержит всего 20 наблюдений для простоты счета, потому что у многих студентов появляются сложности даже при расчете средних величин. В настоящее время имеется большое количество пакетов программ для определения статистических характеристик, так что вручную уже никто не считает. Необходимо помнить, что большое значение имеет качество исходных данных: если они некачественные то и результат будет таким же, статистика и математика в этом случае не помогут.

Пример 6.2

Предположим, что в наше распоряжение поступил статистический материал о количестве зарегистрированных ДТП в районном центре N. Он оформлен в виде таблицы (табл. 6.3), данные в ней приводятся на числа текущего года.

Таблица 6.3

Дата

Количество ДТП (х,)

Дата

Количество ДТП (х.)

01.06.2007

87

11.06.2007

94

02.06.2007

85

12.06.2007

77

03.06.2007

91

13.06.2007

82

04.06.2007

94

14.06.2007

95

05.06.2007

о

to

15.06.2007

104

06.06.2007

80

16.06.2007

87

07.06.2007

75

17.06.2007

93

08.06.2007

85

18.06.2007

92

09.06.2007

93

19.06.2007

88

10.06.2007

102

20.06.2007

97

В данном случае количество ДТП — это случайная величина X, а результаты наблюдений, приведенные в табл. 6.3 — совокупность значений, принятых этой случайной величиной, т. е. X = {Xj, х2..., х20}. Данные, приведенные в табл. 6.3, надо упорядочить, например расположить их по возрастанию значений изучаемого признака х. (г = 1,20). Если одно и то же значение повторяется несколько раз, то его повторим. В результате получаем статистический ряд распределения (см. табл. 6.4).

По ранжированному ряду (см. табл. 6.4) можно построить, например, статистическую функцию распределения F(x), рассмотренную нами в главе 2.

F(x) — разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева и имеющая п скачков, (п — количество наблюдений), причем величина каждого скачка равна 1 /п. Так как некоторые наблюдения совпадают, то скачки сливаются и их число будет равно числу наблюдаемых значений случайной величины X. В нашем случае F(x) будет иметь 15 скачков, откуда следует, что строить ее по ранжированному ряду нерационально, а делать это надо по группированному ряду, что будет рассмотрено несколько позднее.

Таблица 6.4

№ п/п

X.

№ п/п

X.

1

75

11

92

2

77

12

93

3

80

13

93

4

82

14

94

5

85

15

94

6

85

16

95

7

87

17

97

8

87

18

102

9

88

19

102

10

91

20

104

По ранжированному ряду (табл. 6.4) можно определить оценки числовых характеристик наблюдаемой случайной величины X (количество ДТП), например среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, размах вариации и др.

Вычислим, например, размах вариации и среднее арифметическое:

Все числовые характеристики будем определять до целых, так как не бывает десятых и сотых долей ДТП. Можно вычислить и другие числовые характеристики по данным табл. 6.4, но мы это сделаем по группированному ряду.

По статистическому ряду распределения построим группированный ряд, о котором говорилось в главе 4. Заметим, что длины интервалов в нем необязательно должны быть одинаковы, но в каждом из них должны быть наблюдения, т. е. не должно быть пустых интервалов. В том случае если значение случайной величины X попадает ни границу между разрядами, мы будем делить его поровну между соседними разрядами, т. е. к значению каждого их них добавлять по 1/2.

Приближенно найти оптимальное количество групп (разрядов) с равными интервалами можно по формуле Стерджесса:

где к — количество разрядов;

п — количество наблюдений.

Но данная формула применима в том случае, если распределение изучаемой случайной величины X приближается к нормальному, а мы этого не знаем. Поэтому формулой Стерджесса пользоваться не будем (в нашем случае она дает следующий результат к « 5,3 « 5).

Полученный группированный ряд приведен в табл. 6.5. В ней кроме разрядов, частот, относительных частот, приведены плотности частоты и теоретические вероятности, которые понадобятся в дальнейшем.

Таблица 6.5

Разряды

75-80

80-85

85-90

90-95

95-100

100-105

р. — количество наблюдений, попавших в i-й разряд

2,5

2,5

4

6,5

1,5

3

п

0,125

0,125

0,2

0,325

0,075

0,15

4^1 <

II

0,025

0,025

0,04

0,065

0,015

0,03

р,

0,069

0,161

0,245

0,245

0,161

0,069

Заметим, что

где f* — плотность относительной частоты, т. е. отношение относительной частоты к длине интервала(в на

шем случае она для всех разрядов одинакова).

Имея группированный ряд (см. табл. 6.5), можно приближенно построить статистическую функцию распределения F(x) В качестве значений X, для которых определяется F(x), возьмем границы разрядов. Статистическая функция распределения для нашего примера приведена на рис. 6.1.

Рис. 6.1

Теперь по группированному ряду (см. табл. 6.5) построим гистограмму, откладывая по оси абсцисс разряды, а по оси ординат соответствующие плотности относительных частот fv В результате получим совокупность прямоугольников, площадь каждого из которых равна соответствующей относительной частоте (рис. 6.2.).

Заметим, что гистограмму можно строить, используя и частоты ц..

Теперь используя группированный статистический ряд, получим искомые числовые характеристики изучаемой случайной величины X (количество ДТП), т. е. среднюю арифметическую и некоторые показатели вариации. В качестве веса будем использовать относительную частоту / (частость) (можно использовать, как мы уже говорили, в качестве веса относительную частоту (а.).

Вычислим среднеарифметическое весовое:

Рис. 6.2

В качестве х. берем середину соответствующего интервала. Заметим, что хар получилось таким же, что и по ранжированному ряду.

Находим дисперсию:

Определяем среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение округлим до десятых.

Находим среднее линейное отклонение:

Вычисляем коэффициент вариации: т. е. нашу совокупность можно считать однородной.

Определяем коэффициент осцилляции:

Находим

По формулам (6.21) и (6.23) вычисляем моду и медиану. При вычислении этих характеристик используем частоты ц..

Находим моментный коэффициент асимметрии:

Для этого сначала определяем оценку третьего центрального момента:

Поэтому, Ах ~ -0,031, т. е. имеем очень небольшую отрицательную асимметрию.

Степень существенности асимметрии оценим с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии по формуле

Так как , то асимметрия несущественна и вызвана влиянием случайных причин.

Теперь вычисляем эксцесс по формуле Для это

го сначала находим оценку четвертого центрального момента:

Поэтому эксцесс равент. е. наше распределение

немного прижато к оси абсцисс.

Для определения существенности эксцесса распределения вычислим его среднюю квадратическую ошибку, используя формулу (6.55). Получим

Так как отношение меньше 3, то отклонение от

нормального распределения можно считать несущественным.

Заметим, что среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. В нашем случае

Соотношение зависит от наличия в совокупности резких отклонений и может быть индикатором “засоренности” ее нетипичными, выделяющимися из основной массы единицами. Для нормального распределения отношение

Для нашего примера имеем

Заменяя числовые характеристики случайной величины их оценками, мы совершаем некоторую ошибку. Желательно оценить эту ошибку и найти вероятность (надежность) того, что она не превзойдет некоторого малого положительного s (точность).

В рассматриваемом нами примере заменили М[Х] на осар, а D[X] на Dx. Оценим точность и надежность этих оценок по результатам нашего примера.

ЮЗ

Чтобы оценить точность и надежность оценки, надо знать ее закон распределения. Во многих случаях этот закон оказывается близок к нормальному. Так как среднее статистическое значение случайной величины X — это сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, то по центральной предельной теореме распределения близко к нормальному с математическим ожиданием

и дисперсией а значит со стандартом

Для того чтобы определить параметры нормального распределения по которому находится оценка хар, заменяем в формулах (6.57)-(6.59) истинные параметры М[Х], D[X] и а(х) их оценками xap, Dx, дх и получаем

Допуская, что случайная величина хар имеет нормальное распределение с параметрами М[хар] и D[xap], находим приближенно вероятность того, что оценка хар отклоняется от своего математического ожидания менее чем на s.

где Ф0(х) — нормированная функция Лапласа, о которой уже говорилось в главе 2. Для нее составлены таблицы (см. приложение 5).

Используем данные рассматриваемого нами примера и оценим точность и надежность хар. Для нашего примера имеем: хар = 90; Dx = 57,5; дх = 7,6. Найдем вероятность того, что, полагая М[Х] * хар, не совершим ошибки более чем е — 3.

По формулам (6.60)-(6.62) получили:

Далее по формуле (6.63) имеем:

По таблице приложения 5 находим Фо(1,765) = 0,46164, т. е. вероятность того, что ошибки от замены М[Х] на хар не превысит 3 приближенно равна 0,92 (92%). Эту вероятность можно считать достаточной.

Доказывается, что при п > 20 оценка Dx независимо от распределения случайной величины X приближенно распределена по нормальному закону с параметрами:

Заменяя в формулах (6.64)-(6.66) D[X] ее статистической оценкой Dx получим:

Используя данные примера, по формулам (6.67)и (6.69) получим:

Теперь по формуле (6.63) находим вероятность того, что оценка Dx отклонится от своего истинного значения D[X] меньше чем на е = 3.

По таблице приложения 5 находим ФД0Д6) = 0,06356, т. е. вероятность того что оценка от замены D[X] на Dx будет менее 3 равна 0,13 (13%), что явно недостаточно. У нас всего 20 наблюдений, а формулы (6.64)-(6.66) работают при п > 20.

Мы уже говорили, что наш пример учебный. В реальных задачах данных значительно больше, поэтому и вероятность, полученная по формуле (6.63), будет значительно выше.

Полученная нами гистограмма (см. рис. 6.2.) — это графическое изображение нашего распределения. Но пользоваться гистограммой при дальнейших исследованиях неудобно. Поэтому ставиться вопрос о том, как подобрать для данного конкретного распределения аналитическую зависимость (формулу), которая выражала бы лишь существенные черты нашего распределения. Данную задачу называют, выравниваем статистических распределений. Обычно выравнивают гистограммы, т. е. заменяют ее некоторой теоретической кривой, имеющей определенное аналитическое выражение. А затем это выражение принимают за плотность распределения /(х).

В рассматриваемом примере мы выравниваем построенную нами гистограмму по нормальному закону с параметрами хар = 90; ах = 7,6, т. е. в выражении для плотности нормального распределения

Заменяем М[Х] и а[Х] их оценками и получаем

В качестве значений х берем границы интервалов в нашем группированном ряду, подставляем их в формулу (6.70) и получаем:

Полученные данные наносим на рис 6.2 и получаем плавную кривую.

Теперь проверим гипотезу Но о нормальном законе распределения с плотностью f(x). Гипотезе Но противопоставляется альтернативная гипотеза Н1 которая говорит о том, что случайная величина X не подчиняется нормальному закону с параметрами хар = 90; ах = 7,6.

Для того чтобы сделать вывод о том, согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой нами гипотезой, применяют критерий согласия. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о законе распределения. Он применяется для проверки согласия предполагаемого вида закона распределения с опытными данными.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Фишера, Колмогорова и др.

При проверке гипотез могут допускаться ошибки двух видов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная нулевая гипотеза Но; ошибка второго рода — в том, что отвергается верная альтернативная гипотеза Нг

Вероятность ошибки первого рода (а) называется уровнем значимости критерия. Чем меньше а, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу Но Допустимую а обычно задают заранее. Как правило, применяют стандартные значения а = 0,01; 0,05; 0,1.

Вероятность ошибки второго рода обозначают через р. Величину (1 - р) — вероятность недопущения ошибки второго рода (принять верную гипотезу и отвергнуть неверную гипотезу Н0) — называют мощностью критерия.

Сначала используем для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий Пирсона (х2)- Приведем краткие теоретические сведения. Предположим, что проведено п опытов в каждом из которых случайная величина X приняла определенное значение, т. е. х1 х2....., хк — число возможных значений

случайной величины X). В результате получаем статистический ряд распределения (табл. 6.6).

Таблица 6.6

*1

*2

Л

Л

Л

где — соответствующие относительные частоты.

Выдвигаем гипотезу Н0, о том, что случайная величина X имеет распределение (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Х2

Xk

Р2

Рк

где — соответствующие вероятности.

Считаем, что отклонения / от Р имеют случайные причины. Для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы надо выбрать какую-то меру расхождения между статистическими и теоретическими распределениями.

В качестве такой меры расхождения при использовании критерия Пирсона берется сумма квадратов отклонений (/. - Р.), взятых с некоторыми весами С{, т. е.

Веса С. вводят, так как отклонения, относящиеся к разным значениям Р., нельзя считать равноправными по значимости.

Пирсон доказал, что если взять

то при большом числе опытов п закон распределения величины Ra обладает следующими свойствами: он практически не зависит от закона распределения случайной величины X, мало зависит от числа опытов п, зависит только от количества значений случайной величины Х(к) и при п —> оо приближается к распределению х2 Поэтому меру расхождения в данном случае обозначают %2, т. е.

Вводим п под знак суммы, учитывая, что , и после

преобразований получаем

Распределение х2 зависит от параметра называемого числом степеней свободы (гс), который определяется следующим образом:

где Se —- количество независимых условий, которые наложены на относительные частоты. Для нашего примера Se = 3. Мы потребовали, чтобы выполнялись условия:

Для распределения %2 составлены таблицы (см. приложение 6). Для нашего примера проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Вернемся к табл. 6.5, где осталась одна незаполненная графа (Р.) — это теоретические вероятности попадания в интервал случайной величины X, имеющей нормальное распределение с параметрами хар = 90; ах = 7,6.

Для их нахождения используем формулу (2.44). Получаем:

где Фо(х) — нормированная функция Лапласа, для которой, как мы уже говорили, составлены таблицы (см. приложение 5).

Полученные значения вероятностей занесем в табл. 6.5. Далее по формуле (6.74) получим:

Число степеней свободы в нашем случае равно г, = 6 - 3 = 3. Уровень значимости принимаем равным 0,1, т. е. а = 0,1. По таблице распределения х2 (см. приложение 6) по уровню значимости а = 0,1 и по числу степеней свободы г = 3 находим %т = 6,25.

2 2 с

Так как Хт > ХР, то гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений и ее можно принять с уровнем значимости 0,1. Если под рукой нет таблицы распределения х2, для оценки случайности расхождения /. от Р. можно использовать критерий Романовского

Если соотношение (6.76) меньше трех, то расхождение между фактическим и теоретическим распределениями носит случайный характер, а в противном случае они существенны.

Для данных примера имеем , поэтому гипотезу о нормальном распределении тоже можно принять.

Теперь применим для проверки гипотезы о нормальном распределении критерий согласия Колмогорова.

Критерий Колмогорова основан на нахождении максимального расхождения между накопленными частотами или относительными частотами экспериментального распределения и вероятностями теоретического распределения. Он определяется по формулам:

если пользоваться накопленными относительными частотами;

если пользоваться накопленными частотами, где dM — максимальная величина расхождений между накопленными относительными частотами и вероятностями;

DM — максимальная разность между реальными и теоретическими частотами.

Будем использовать формулу (6.77), и необходимые данные разместим в табл. 6.8.

Из табл. 6.8 следует, что, поэтому по формуле

(6.75) получаем

Таблица 6.8

Разряды

и

Р

г

Накопленные f и Р

KJ

д/,

ДР

г

75-80

0,125

0,069

0,125

0,069

0,056

80-85

0,125

0,161

0,25

0,23

0,02

85-90

0,2

0,245

0,45

0,475

0,025

90-95

0,325

0,245

0,775

0,72

0,055

95-100

0,075

0,161

0,85

0,881

0,031

100-105

0,15

0,069

1

0,95

0,05

Затем по таблицам Р() (см. приложение 8) находим Р(Хк) = 1. Поэтому можно полагать, что расхождения между относительными частотами и теоретическими вероятностями носят случайный характер, а, следовательно, гипотеза о нормальном распределении не противоречит данным наблюдений.

В заключение еще раз повторим, что наш пример носит учебный характер. Надо иметь в виду, что при использовании критерия Пирсона количество наблюдений должно быть не менее нескольких десятков, в каждом разряде должно быть не менее пяти наблюдений, а количество разрядов должно быть примерно 10-15.

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды средних величин применяют в статистике?

2. Как определяются средняя гармоническая простая и взвешенная?

3. Как определяются средняя геометрическая простая и взвешенная?

4. Как определяется средняя арифметическая простая и взвешенная?

5. Как вычисляются средняя квадратическая и средняя кубическая?

6. Какие показатели вариации вы знаете?

7. Что представляют собой размах вариации и среднее линейное отклонение? По каким формулам они вычисляются?

8. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? По каким формулам они вычисляются?

9. По какой формуле находится дисперсия качественного признака?

10. Что представляет собой коэффициент вариации? Каково его значение для экономического анализа?

11. Что представляет собой правило сложения дисперсии?

12. Что представляют собой асимметрия и эксцесс, и по каким формулам они находятся?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 
Популярные страницы