Нормальное распределение

Рассмотрим другой метод исследования, основанный на предположении о том, что большинство результатов хозяйственной деятельности (прибыль, доход и т.д.) как случайные величины подчиняются закону, близкому к нормальному. Этот закон характерен для распределения событий в случае, когда их исход представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов, и ни один из этих факторов не оказывает преобладающего влияния.

Нормальное распределение является основным элементом большинства систем управления риском. На нем целиком основан страховой бизнес, потому что от пожара в Москве не загораются дома в Самаре, а смерть определенного человека в одном месте, как правило, не имеет отношения к смерти другого человека в другом месте и в другое время. Когда страховые компании собирают сведения о миллионах людей обоего пола всех возрастов, значения ожидаемой продолжительности жизни оказываются распределенными по нормальной кривой. В силу этого страховые компании способны с большой степенью надежности оценивать продолжительность жизни разных групп населения. Они могут не только определять ожидаемую среднюю продолжительность жизни, но и диапазоны, в которых она может колебаться из года в год. Уточняя эти оценки на основе дополнительных данных, таких, как истории болезней, число курильщиков, постоянные места проживания, профессиональная деятельность, эти компании повышают точность оценки ожидаемой продолжительности жизни.

Порой нормальное распределение дает гораздо больше важной информации, чем простые оценки представительности выборки. Нормальное распределение менее вероятно, хотя и не исключено, когда наблюдения зависимы друг от друга, то есть когда вероятность события определяется предыдущим событием. Например, если у лучника проблемы со зрением, стрелы будут ложиться слева от яблочка, т.е. центр распределения окажется сдвинутым. В подобных ситуациях распределение относительно среднего значения обычно оказывается асимметричным.

В таких случаях мы можем воспользоваться рассуждением наоборот. Если независимость событий является необходимым условием нормального распределения, можно предположить, что данные, распределение которых представлено нормальной кривой, получены на основе независимых наблюдений. Теперь мы можем поставить несколько интересных вопросов.

Насколько точно изменения курса акций на бирже подчинены законам нормального распределения? Некоторые знатоки рынка утверждают, что курс подвержен случайным колебаниям, напоминающим пошатывающегося пьяного, пытающегося ухватиться за фонарный столб. Они полагают, что у курса не больше памяти, чем у рулетки или пары костей, и что каждое наблюдение здесь независимо от предыдущего наблюдения. Сегодняшнее движение цен не зависит от того, что произошло минуту назад, вчера или позавчера.

Лучший способ решения вопроса о том, являются ли изменения курса акций независимыми событиями, заключается в сравнении колебаний курса с нормальным распределением. У нас есть веские основания утверждать, что эти колебания подчиняются нормальному закону, и в этом нет ничего удивительного. В условиях постоянной изменчивости и конкурентной борьбы на нашем рынке капитала, когда каждый инвестор стремится переиграть других, новая информация мгновенно отражается на котировках. Когда выясняется падение прибыли у General Motors или Merck объявляет о выпуске нового чудодейственного лекарства, котировки не стоят на месте в ожидании, пока инвесторы переварят информацию. Ни один инвестор не станет ждать, пока начнут действовать другие. На рынке действуют сворой, и новая информация немедленно изменит котировки акций General Motors или Merck. При этом сама новая информация поступает в случайном порядке. В силу этого изменения котировок непредсказуемы.

Интересные данные в поддержку этой точки зрения были приведены в 1950-х годах профессором Чикагского университета Гарри Робертсом. Робертс с помощью компьютера брал случайные числа из наборов с тем же средним и тем же средним квадратичным отклонением, какие наблюдались у цен на фондовой бирже. Затем он начертил диаграмму последовательной смены этих случайных чисел. Результаты оказались идентичными с результатами аналитиков рынков ценных бумаг, пытающихся предугадать движение котировок. Реальная динамика цен и динамика случайных чисел, выданных компьютером, оказались практически неразличимыми. Возможно, что и на самом деле биржевые котировки не имеют памяти.

Нормальность распределения — это жесткая проверка гипотезы случайных колебаний рынка. Но нужна одна важная оговорка. Даже если гипотеза случайных колебаний адекватно описывает ситуацию на фондовом рынке, даже если изменения котировок описываются нормальным распределением, среднее значение изменений всегда отлично от нуля. Тенденция к повышению котировок не должна нас удивлять. Состояние владельцев акций со временем растет, как и сбережения, доходы и прибыли корпораций. Поскольку по большей части котировки не падают, а растут, среднее значение их изменений оказывается положительным.

На практике для проверки предположения о нормальном распределении исследуемой совокупности случайных факторов применяются различные критерии согласия, устанавливающие соответствие между эмпирическим (опытным) и теоретическим (нормальным) распределением, и которые для задаваемой надежности (вероятности) позволяют принять или отвергнуть принятую гипотезу о нормальном законе распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) представляет собой вид распределения случайных величин, с достаточной точностью описывающий распределение плотности вероятности результатов производственно-хозяйственной, финансовой, инновационной деятельности или изменений условий внешней среды, поскольку показатели, характеризующие их, определяются большим числом независимых случайных величин, каждая из которых в отдельности относительно других играет незначительную роль и непредсказуема. Применение нормального распределения для оценки рисков также связано с тем, что в основе данных, как правило, используется ряд дискретных значений. Эти теоретические предпосылки, а также апробация моделей для анализа рисков на основе нормального распределения доказывают адекватность этого теоретического инструмента реальным процессам экономической деятельности.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

где х = а — математическое ожидание,

ст — среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Из курса теории вероятностей известно, что попадание случайной величины X в заданный интервал (а; р) определяется как

где есть интеграл вероятностей или функция Лапласа, ее значения в зависимости от параметра * приводятся в специальных таблицах, эта функция четная и она изменяется от 0 до 0,5.

Если предположить, что ожидаемое значение результата (прибыль, потери и т.д.) должны принадлежать интервалу (а; Р) длиной А = р - а, то вероятность того, что достигаемый результат будет находиться в указанном интервале, определяется из формулы (6.6.4) и пусть равна Рх. На графике рис. 6.9 заштрихованная площадь численно равна Рх. Тогда вероятность попадания рассматриваемого результата за пределы допустимых границ, исходя из того, что вся площадь под кривой нормального распределения равна единице, будет равна Р2- 1 - Ру.

Вероятность Р2 оценивает неопределенность результата и отдельные авторы считают непосредственным измерителем риска величину Р2. На наш взгляд, лишь в относительно простых случаях для оценки степени риска можно использовать величину вероятности получения отрицательного результата (Р2), так как при этом не затрагиваются существенные факторы понятия риска, от-

Нормальная кривая

Рис. 6.9. Нормальная кривая

сутствует сравнение возможных выигрышных исходов и обстоятельств, способствующих им, с возможными потерями в случае неудачи.

Средняя арифметическая х = а определяет центр распределения и ее размерность та же, что и размерность случайной величины X. Среднее квадратическое отклонение ст определяет разброс центра распределения и размерность ст совпадает с размерностью случайной величины X. На рис. 6.10 показано, как разница в значениях средней арифметической влияет на положение графика, а на рис. 6.11 показано, как увеличение значения а меняет размах кривой.

Параметр а характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наи-

Изменения в значении средней арифметической

Рис. 6.10. Изменения в значении средней арифметической

Изменения в значении среднего квадратического отклонения

Рис. 6.11. Изменения в значении среднего квадратического отклонения

большая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ст, при увеличении ст максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении ст кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении ст кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис. 6.11 показаны три нормальные кривые (I, II, III) при а = 0; из них кривая / соответствует самому большому, а кривая III — самому малому значению ст. Изменение параметра ст равносильно изменению масштаба кривой распределения — увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

В процессе принятия управленческих решений предпримате- лю целесообразно различать и выделять определенные области (зоны риска) в зависимости от уровня возможных (ожидаемых) потерь. Для этого разработаны и используются так называемые шкалы риска, позволяющие классифицировать поведение лиц, идущих на хозяйственный риск. В табл. 6.11 приведена эмпирическая шкала риска, которую рекомендуют применять предпринимателям при использовании ими в качестве количественной оценки риска вероятность наступления рискового события авторы книги [50].

Дадим математический анализ этой таблицы.

В практике общеупотребительной характеристикой рассеивания служит не среднее квадратическое отклонение ст, а другая веЭмпирическая шкала допустимого уровня риска

Вероятность нежелательного исхода (величина риска)

Наименование градаций риска

1

о

о

р

минимальный

2

0,1—0,3

малый

3

0,3—0,4

средний

4

SD

О

?'t

О

высокий

5

0,6—0,8

максимальный

6

о

Ъо

о

критический

личина, называемая вероятным отклонением (иначе — «срединным отклонением» или «срединной ошибкой»).

Вероятным отклонением называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна половине.

Геометрически вероятное отклонение Е есть половина длины участка оси абсцисс, симметричного относительно центра рассеивания, на который опирается половина площади кривой распределения (рис. 6.12).

Вероятное отклонение мы будем обозначать буквой Е.

Поясним смысл термина «срединное отклонение», часто применяемого в практике вместо «вероятного отклонения». Вероя- ность того, что величина X отклонится от центра рассеяния а

Рис. 6.12.

меньше чем на Е, по определению вероятного отклонения Е, равна

Вероятность того, что это отклонение будет больше Е, также равна

Таким образом, при большом числе опытов в среднем половина значений случайной величины X будет отклоняться от а больше чем на Е, а половина — меньше; отсюда и термин «срединное отклонение».

Из курса теории вероятностей известно, что вероятность того, что отклонение случайной величины X от среднего значения а по абсолютной величине не превысит положительного числа е = ст/, определяется соотношением

Очевидно, вероятное отклонение как характеристика рассеивания должно находиться в прямой зависимости от среднего квадратического отклонения ст. Установим эту зависимость. Для этого вычислим вероятность события |Х-а<Е в уравнении (6.6.5) по формуле (6.6.6)

Формулы (6.6.4), (6.6.6) и (6.6.7) применяются на практике для попадания случайной величины X в заданный интервал.

Для примера вычислим вероятности попадания случайной величины X, подчиненной нормальному закону, на последовательные участки длиной Е, отложенные от центра рассеивания. По определению вероятного отклонения, вероятность попадания на участок длины Е, примыкающий к центру рассеивания, равно 0,25. Так как плотность вероятности по мере удаления от центра рассеивания убывает,

Рис. 6.13.

то, откладывая от центра последовательные участки длиной Е, мы будем получать все меньшую и меньшую вероятность попадания (рис. 6.13). Вычислим вероятность попадания случайной величины на эти участки по формуле (6.6.7) с точностью до 0,01:

Складывая эти четыре числа, получаем 0,5. Из этого заключаем, что если пренебречь вероятностями менее 0,01, можно считать практически достоверным, что случайная величина, подчиненная нормальному закону, отклоняется от центра рассеивания не более чем на четыре вероятных отклонения. Строго говоря, такие отклонения все же возможны и встречаются примерно в 0,5% всех случаев (в ту и другую сторону).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >