Сумма совместных независимых событий

Рассмотрим события Ли В, которые могут возникать в одном наблюдении, а может одно (или оба) не возникать. Например, измерительный медицинский комплекс, используемый во время хирургических операций, питается от двух независимых источников электропитания. При этом возможны ситуации, когда исправны оба источника (реализуется события А и В) исправлен первый источник (событие Л) и неисправен второй; исправен второй источник (событие В) и неисправен первый; оба источника питания неисправны.

Благоприятными для завершения операции можно считать первые три ситуации, когда хотя бы один источник питания обеспечивает работу системы измерений. Вероятность такого события равна:

Если оба источника имеют равную вероятность безотказной работы, например Р(А) = Р(В) = 0,8, то вероятность совместного события

Вероятность безотказной работы системы питания при использовании двух источников повысилась; это один из методов повышения надежности технических устройств.

Дискретные законы распределения и обобщенные характеристики

Случайные события, выражаемые числами, называются случайными величинами — например, урожайность, удои, возраст жителей, скорости молекул газа, погрешности измерений, прибыли банков и т.д.

Замечательная особенность случайных величин X заключается в том, что каждой величине может соответствовать вероятность ее появления. Таким образом, зависимость вероятностей появления случайных чисел представляется в виде функции Р(Х), которую можно подвергнуть анализу. Функция Р(Х) называется законом распределения случайной величины X. Под X и Y будем понимать совокупность различных случайных величин, например X — количество расходомеров в п котельных одного района; Y — количество работников котельных того же района. Строчными буквами х, у будем обозначать конкретное значение случайной величины, например в первой котельной 10 расходомеров, а во второй — 6, следовательно, х_{ = 10, х₂ = 6.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины принимают на числовой оси отдельные значения, например число посещений больницы жителями района за год, количество отказавших приборов за определенный интервал времени, количество деревьев на одном гектаре леса и т.п. Непрерывные случайные величины могут принимать любые значения на числовой оси или ее части, например погрешности измерений, скорости молекул, температура в сушильном аппарате, давление пара перед турбиной и т.д.

Сначала рассмотрим дискретные величины. Зависимость вероятности появления случайной величины от ее значения Р(Х) может быть записана в аналитическом виде, в виде таблицы или графика.

Например, решим следующую типичную задачу. При изготовлении деталей вероятность получения годной детали равна р = 0,6 и, соответственно, вероятность получения бракованного изделия равна q = 0,4 (поскольку получение годной или бракованной детали образует полную группу событий). Для контроля качества технологического процесса отбирают восемь деталей. Следует определить вероятность наличия среди отобранных деталей: ни одного бракованного, одного бракованного, двух бракованных и т.д. — до восьми.

Аналитическое выражение числа бракованных деталей дается в общем виде биномиальным законом распределения:

где р_к — вероятность появления в отобранной партии из п деталей при к бракованных; С_к — сочетание из п элементов по к; п!,к!—

факториалы соответствующих значений пик', напоминаем, что 0/ = 1.

Рассчитаем вероятность отсутствия бракованных деталей в партии из восьми штук. По формуле (4.10) при п = 8 и к = 0 имеем:

Для определения среди отобранных деталей одной бракованной по той же формуле получим:

Продолжая расчет для случаев к = 2, 3, 8 получим значения

вероятностей, отвечающих каждому возможному числу бракованных деталей. Результаты сведем в таблицу, которая будет табличной формой представления закона распределения случайного числа бракованных деталей в партии из восьми штук:

По данным таблицы закон распределения можно представить в графической форме (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Вероятности р_к биномиального распределения для случая /7=8, р=0,4

Понятно, что все формы представления закона распределения случайной величины равноценны и выбор конкретной формы определяется удобством дальнейшего анализа.

Данные таблицы и графика наглядно показывают достаточность выборки из восьми деталей для анализа стабильности технологического процесса производства детали. Вероятность появления восьми исправных деталей при наличии брака не превышают 0,0167, а остановка производства по причине присутствия в выборке только бракованных деталей вообще крайне мала — 0,0006.

Хотя законы распределения дают максимум информации о случайных величинах, их использование очень неудобно. Это ясно видно при наличии большого количества значений случайной величины. Например, как обозреть распределение скоростей молекул моля газа, если их 6,02 • 10²³? Для сжатого описания случайных величин вводятся специальные обобщенные параметры, позволяющие сделать заключение о свойствах случайных величин. Эти параметры, конечно, менее информативны, чем законы распределения, но достаточны для вывода важных заключений о свойствах случайных величин.

Рассмотрим два таких обобщенных параметра — математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание — значение (неслучайное) на числовой оси случайных величин (на оси абсцисс), являющееся центром рассеяния случайной величины. Формула для вычисления математического ожидания (обычно обозначается М(Х) или т_х) имеет вид:

Вычислим математическое ожидание закона распределения числа бракованных деталей в партии из восьми штук (продолжим рассмотренный пример закона распределения). По формуле (4.11)

т_п = (0 • 0,0167) + (1 • 0,0895) + (2 • 0,209) + ...+ (8 • 0,0006) = 3,2.

Полученный результат позволяет утверждать, что анализируемое оборудование производит детали, из которых восемь взятых наугад будут содержать в среднем 3—4 шт. бракованных. Если при тех же условиях на другой производственной линии из восьми деталей брак будет составлять в среднем, например, 2—3 шт., можно утверждать, что вторая линия выпускает более качественную продукцию.

Самые простые свойства математического ожидания:

• математическое ожидание постоянного числа с равно самому этому числу:

• математическое ожидание произведения постоянного числа на случайную величину равно произведению постоянного числа на математическое ожидание случайной величины:

Дисперсия — число (неслучайное), характеризующее степень рассеяния случайной величины вокруг математического ожидания. Вычисляется дисперсия D(X) по следующему выражению:

Свойства дисперсии:

• дисперсия постоянного числа с равна нулю. Это следует из того, что т_с = с (см. свойства математического ожидания) и сама случайная величина имеет только одно значение х. = с. Качественно результат понятен: поскольку у постоянного числа нет разброса, то и характеристика степени разброса равна нулю;

• постоянное число с может быть вынесено за знак дисперсии в квадрате, т.е.

• дисперсия суммы двух случайных независимых величин X и Y

равна сумме дисперсий:

• дисперсия разности двух случайных величин X и Y равна сумме

дисперсий. Это важное положение легко доказывается:

В правой части последней суммы под знаком дисперсии стоит постоянное число (-1), которое в соответствии с (3.15) может быть вынесено за знак дисперсии в квадрате, что дает

Дисперсия хорошо характеризует разброс, размытость случайной величины вокруг математического ожидания: чем больше рассеяние (разброс), тем больше дисперсия. Однако эта характеристика имеет один существенный недостаток: разброс имеет размерность квадрата случайной величины. Например, оценивается точность стрельбы из орудия по результатам большого числа выстрелов. Дальность (средняя) стрельбы будет равна математическому ожиданию, а разброс снарядов, как указано ранее, будет оцениваться суммой квадратов расстояний от математического ожидания до точек падения снарядов. Но расстояния в квадрате характеризуют площадь, а не длины. Другой пример: если исследуются колебания электрического напряжения, то они характеризуются квадратом разностей напряжений, а это уже мощность. Получается неприятный парадокс: разброс в расстояниях характеризуется площадью, разброс электрического напряжения — мощностью. Отсутствие однотипной размерности не позволяет оценить степень разброса случайной величины относительно ее математического ожидания.

Для устранения указанной нелогичности вводится характеристика разброса — среднее квадратическое отклонение (СКО) а, равное положительному значению корня квадратного из дисперсии:

Вот теперь размерность разброса случайной величины совпадает с размерностью самой величины и математическим ожиданием и, следовательно, можно оценить, насколько разброс величины меньше ее математического ожидания.