ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И ВЕЩЕСТВА

Вводные замечания

Рассмотренная в п. 9.4 модель жидкости может быть использована для описания и анализа движения реальной жидкости постоянной температуры, плотности, состава при малых скоростях течения в областях, удаленных от твердых поверхностей. Твердыми могут быть стенки трубы, корпус корабля или элементы ИП, помещенные в поток.

Чем определяется влияние твердых тел на закон движения жидкости? Тем, что их скорость не совпадает со скоростью движения жидкости или газа: стенки трубы неподвижны, скорости судна или самолета существенно отличаются по направлению и модулю от скорости потока. Реальные жидкости состоят из связанных силами взаимодействия молекул. Те молекулы, которые непосредственно касаются молекул твердого тела (например, стенок трубы), прилипают к нему, и скорость прилипшего тонкого слоя жидкости равна нулю. За счет сил притяжения тонкий слой неподвижной жидкости препятствуют свободному движению молекул следующего слоя. Возникающие силы называются молекулярными в отличие от рассмотренных в п. 9.4, называемых массовыми.

При рассмотрении объема жидкости как неразрывного целого молекулярные силы называются вязкостью и, как было указано в п. 9.2.2, напряжение вязкой силы т описывается уравнением Ньютона (9.3). Каждая жидкость характеризуется своим динамическим р или кинематическим v коэффициентом вязкости, определяемыми экспериментально.

У большинства жидкостей величины коэффициентов вязкости весьма малы и влияют на перестройку скоростей потока в весьма малой области у поверхности твердых тел, называемой пограничным слоем. Однако подобное утверждение не дает представления ни о толщине пограничного слоя, ни о характере скоростей вне и внутри пограничного слоя, ни о характере энергетических процессов в реальных жидкостях. Конечно, на таком уровне знаний понять работу, а тем более разрабатывать ИП, не представляется возможным.

С другой стороны, процессы в реальных жидкостях настолько разнообразны и сложны, что полное изложение всех их особенностей можно найти только в подробных курсах гидродинамики. Мы рассмотрим отдельные, наиболее важные с точки зрения функционирования ИП вопросы.

Как указывалось в п. 9.1, общего решения дифференциального уравнения движения вязкой жидкости не существует, а частные решения получаются анализом физических условий течения жидкости и исключением из уравнений слагаемых второго порядка малости.

Поясним сказанное примером [18]. Имеется пористая труба высотой h и диаметром d, через которую течет жидкость. Если высота цилиндра и диаметр одного порядка, т.е. d/h * 1, то торцевые поверхности и боковая поверхность — величины одного порядка. Физические эффекты при этом (например, количество жидкости, проходящей через торцевые и боковую поверхности) также одного порядка, и они в равной мере должны учитываться при расчете. В случае же, когда d/h « 1 (цилиндр бесконечной длины), достаточно рассмотреть задачу определения течения через боковую поверхность. В другом крайнем случае, когда d/h » 1 (труба вырождается в тонкое кольцо), задача сводится к расчету течения через торцевые поверхности.

Таким образом, для величин одной физической природы х и у, которые в конкретных условиях могут принимать значения, близкие кх0 иу0, критерием порядка будет отношение у00: если отношение близко к единице, например у00 = 0,5, величины будут считаться одного порядка. Действительно, число 0,5 никак нельзя считать бесконечно малым второго порядка малости; следовательно, у0, будучи в два раза меньше параметра х0, остается с ним одного порядка.

Для дальнейшего анализа осталось определить порядок производных функций, описывающих рассматриваемый процесс. Предположим, что параметр у функционально связан с аргументом х, причем вид функции у =Дх) неизвестен. Дополнительно известны значения (У] и у2) функции при крайних значениях (xt и х2) аргумента. Для упрощения выражений (без потери общности решения) будем считать, что у, = 0 и Xj = 0. Необходимо определить порядок производной

Поскольку вид функции у =/(х) и ее производной порядка т неизвестен, то указать закон изменения функции z не представляется возможным. Но, считая исходную функцию гладкой, можно утверждать, что производная функции изменяется в конечном диапазоне при изменении аргумента х в интервале х0 = х2 — Xj = х2. Поэтому можно подобрать такое постоянное значение z, которое обеспечит выполнение условия равенства значений исходной функции у =/(х) на концах диапазона изменения аргумента.

Теперь задача формулируется так: найти такую функцию ср(х), значения которой совпадают на концах диапазона сДх) и т-я производная которой является постоянным числом. Запишем все условия, которыми определяется искомая функция:

Сформулированным условиям отвечает степенная функция

значение которой в конце диапазона равно откуда

Подставив значение а в (9.23) и взяв производную, получим

Поскольку далее будут рассматриваться производные порядка не выше второго, то факториал не влияет на порядок малости и за меру производной логично принять величину

Полученные соотношения порядка позволяют сделать оценочный анализ факторов при движении реальной вязкой жидкости.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >