Числовые характеристики скалярных случайных величин

Как уже было отмечено, исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является ее закон распределения, который полностью определяется, например, функцией распределения. Однако для решения прикладных задач часто оказывается достаточным описывать распределение случайной величины лишь в самых общих чертах, отражая его наиболее существенные особенности. Для этого используются специальные характеристики распределения (их называют также числовыми характеристиками случайной величины). Основные из таких характеристик дают представление о том, относительно какой точки группируются возможные значения случайной величины и какова степень их рассеивания, в связи с чем одни из них называют характеристиками положения, а другие — характеристиками рассеивания. Ниже эти характеристики рассматриваются применительно к скалярным случайным величинам.

Характеристики положения

В качестве числовых характеристик положения используются: мода, медиана и математическое ожидание.

Модой называют значение случайной величины, которому соответствует максимум функции вероятности или плотности распределения. Таким образом, мода (условимся обозначать ее символом Мо) дискретной случайной величины определяется из условия

а непрерывной — из условия

что иллюстрируется рис. 2.9 и рис. 2.10 (вертикальными линиями на рис. 2.10 представлены вероятности возможных значений xvxv...,xn).

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Медианой случайной величины называется корень уравнения

т. е. такая точка Me на числовой оси, для которой

Медиана непрерывной случайной величины определяется однозначно (рис. 2.11 и 2.12).

Рис. 2.11

Рис. 2.12

Дискретная же случайная величина может либо вообще не иметь медианы (рис. 2.13), либо иметь бесконечное множество их (рис. 2.14), в связи с чем применительно к таким случайным величинам эта числовая характеристика на практике используется редко.

Рис. 2.13

Рис. 2.14

Математическое ожидание является наиболее часто используемой числовой характеристикой положения.

Для дискретной случайной величины оно определяется как сумма произведений ее возможных значений на их вероятности, т. е. с помощью оператора

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется оператором

который по существу аналогичен оператору (2.15) с той лишь разницей, что здесь суммирование заменено интегрированием, а вероятность р(х.) — элементом вероятности f(x)dx (заметим, что интеграл в правой части выражения (2.16) практически следует вычислять в пределах, определяющих интервал значений х, при которых плотность f(x) отлична от нуля).

По смыслу математическое ожиданиеэто среднее значение случайной величины, а точнеечисло тх, около которого при достаточно большом количестве испытаний группируется среднее арифметическое ее реализовавшихся значений.

Действительно, пусть при осуществлении N испытаний, результаты которых представляются дискретной случайной величиной X с возможными значениями xv х2, ..., х., ..., хп, каждое из этих значений реализовалось соответственно

раз. Среднее арифметическое полученных

результатов

можно представить в виде

где — частота появления при N испытаниях возможного значения х .

г

Сопоставляя полученное выражение с соотношением (2.15), нетрудно видеть, что их правые части отличаются лишь тем, что в первом возможные значения умножаются на свои вероятности, а во втором — на частоты. Отсюда, принимая во внимание, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота стабилизируется относительно вероятности, можно прийти к заключению о справедливости данного выше толкования смысла математического ожидания.

Математическому ожиданию можно дать следующую механическую интерпретацию. Для дискретной случайной величины оно в соответствии с равенством (2.15) представляет центр масс системы, состоящей из невесомого (или однородного) стержня, в точках с абсциссами х. которого сосредоточены массы р (х.). Для случайной величины непрерывного типа математическое ожидание, согласно соотношению (2.16), представляет абсциссу центра масс фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой /(х).

Пример 2.2. В условиях примера 2.1 найти математическое ожидание случайной величины X — числа попаданий в цель после трех независимых выстрелов с вероятностью попадания р = 0,5 при каждом из них.

Решение.

Используя табл. 2.2, на основе оператора (2.15), получаем

что соответствует механической интерпретации математического ожидания (распределение вероятностей на интервале от О до 3 симметрично относительно точки х = 1,5).

Полученный результат означает, что при достаточно большом числе таких стрельб в среднем в каждой из них будет получено полтора попадания в цель. Подчеркнем, что дробное значение математического ожидания в данном случае вполне правомерно, поскольку это значение — среднее.

Среди всех свойств математического ожидания, основные из которых будут рассмотрены ниже, выделим пока одно, состоящее в следующем. Если случайная величина Z является функцией случайной величины X, т. е. Z = ср(Х), а распределение аргумента X известно, то

при дискретном аргументе и при непрерывном.

Действительно, пусть Z = <р(Х) = X2, а аргументом X является дискретная случайная величина с возможными значениями xv х2, х3, х4, вероятности которых равны p(Xj), р(х2), р(х3) и р(х4) соответственно (одна из таких случайных величин рассматривается в примере 2.1). Тогда возможные значения z. случайной величины Z можно определить следующим образом:

При этом очевидно, что каждое из них будет появляться так же часто, как и соответствующее возможное значение х. аргумента X. Следовательно,

и, таким образом,

эквивалентно соотношению (2.17).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >