Нормальное распределение

Нормальное распределение непрерывной скалярной случайной величины X определяется плотностью

где тх — математическое ожидание;

gx— среднее квадратическое (стандартное) отклонение этой случайной величины; или функцией распределения

графики которых представлены на рис. 2.23 и 2.24.

Рис. 2.23

Рис. 2.24

Из соотношения (2.48) следует, что при нормальном распределении числовые характеристики тх и x являются его параметрами и, следовательно, полностью определяют это распределение.

Нормальное распределение присуще очень широкому кругу случайных величин, встречающихся в инженерной практике. Это объясняется тем, что для обширного класса случайных факторов объективно выполняются условия, в которых формируется именно нормальное распределение соответствующих случайных величин. Суть этих условий состоит в следующем: если какая-либо случайная величина по своей природе является суммой случайных слагаемых с ограниченными дисперсиями и распределенных как угодно, то распределение этой случайной величины будет тем ближе к нормальному, чем больше таких слагаемых она представляет. (Строгое доказательство сходимости распределения суммы случайных величин к нормальному составляет содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей, доказанной А. М. Ляпуновым).

Известно, например, что рассеивание точек падения снаряда по дальности при стрельбе из артиллерийского орудия на постоянных установках прицельных устройств является следствием суммарного влияния большого числа случайных источников. Среди них можно указать фактическое положение ствола в момент выстрела, отклонения от номиналов начальной скорости снаряда, его веса и аэродинамических характеристик, а также отклонения реальных значений параметров атмосферы от стандартных. Каждый из этих источников, в свою очередь, может быть представлен суммой составляющих его случайных компонентов, играющих примерно одинаковую роль в формировании рассеивания конечного результата — точки падения снаряда. Поэтому его распределение считается практически нормальным.

Практически нормальным можно считать и распределение других непрерывных случайных величин, являющихся результатом суммарного влияния большого числа случайных источников.

Необходимо отметить, что интеграл в правой части равенства (2.49) к элементарным функциям не сводится. Поэтому значения функции нормального закона распределения могут быть получены лишь путем численного интегрирования плотности (2.48), результаты которого для постоянного практического использования целесообразно табулировать. Очевидно, что соответствующая таблица должна иметь три входа: верхний предел интегрирования х и параметры тх, ах, т. е. представляется слишком громоздкой. Оказывается, однако, что для решения практических задач достаточно составить только таблицу функции стандартного нормального распределения с параметрами тх = 0, стх = 1, т. е. таблицу функции

имеющую один вход— верхний предел интегрирования у (табл. 1 приложения 1).

Действительно, используя в интеграле (2.49) замену переменной интегрирования х на

и учитывая, что при такой замене а верхний предел интеграла хследует заменить на ,получим

Таким образом, табличная функция (2.50) обеспечивает возможность вычисления значений функции нормального распределения с любыми значениями параметров тх и ст . Поэтому с ее помощью можно, например, рассчитать вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в тот или иной интервал при заданных значениях тх и ох. В самом деле, поскольку всегда эта вероятность равна разности значений функции распределения на границах интервала, т. е.:

для рассматриваемого случая с учетом соотношения (2.52) имеем откуда найдем

Отметим, что значение табличной функции (2.50) при каждом значении ее аргумента у геометрически представляется площадью под кривой плотности

слева от точки у (рис. 2.25).

Поскольку эта кривая симметрична относительно нуля, площадь под ней слева от точки -у, равная FT(~y), одинакова с площадью справа от точки у. Вся же площадь под данной кривой, представляющей плотность распределения (нормального с параметрами га = 0ист=1), равна единице. Поэтому из рис. 2.25 следует, что

Применительно к нормальному распределению составлена также таблица функции

которую называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей). Она является нечетной функцией своего аргумента, т. е.:

и геометрически представляется площадью под кривой (2.54) между точками -уму (рис. 2.26).

Рис. 2.25

Сопоставляя друг с другом рис. 2.25 и 2.26, нетрудно установить, что

Откуда находим

Поэтому равенство (2.53) можно представить в виде

Таким образом, функция Лапласа может использоваться для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (при этом только всегда необходимо принимать во внимание соотношение (2.57)).

Функция Лапласа оказывается наиболее удобной при вычислении вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания. Действительно, если обозначить длину такого интервала через 2L, то в соответствии с рис. 2.27 его левая и правая границы будут определяться соотношениями хх = тх ~ L и х2 = тх + L. Поэтому по (2.59) с учетом (2.57), получим

Рис. 2.27

В частности, если L = Зст^., то Р(|Х - raj < L) = Фт(3) = 0,9973. Следовательно, при нормальном распределении случайной величины ее возможные значения практически достоверно (с вероятностью 0,9973) рассеиваются относительно математического ожидания в пределах, не превышающих три стандартных отклонения в каждую сторону. Это утверждение обычно называют правилом “трех сигм”.

С помощью табличной функции Лапласа можно установить соотношение между срединным (вероятным) и стандартным отклонениями при нормальном распределении. Для этого, очевидно, необходимо принять в равенстве (2.60) L = Вх и положить определяемую им вероятность равной 0,5, т. е. найти соотношение из условия

Отсюда с учетом (2.58) обратным интерполированием по табл. 2 приложения получаем

так что

Это соотношение иногда представляют в виде

где р = 0,4769 — константа нормального распределения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >