МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ

Постановка задачи оценивания вероятностных характеристик случайных величин

Предположим, цель эксперимента состоит в определении вероятностных характеристик некоторой случайной величины X. При п независимых наблюдениях этой случайной величины получена случайная выборка {Х_р Х₂, Х_п}. Требуется по результатам ограниченного числа наблюдений {х_1} х₂, ..., xj выработать суждение о вероятностных характеристиках этой случайной величины.

Известно, что исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Поэтому одной из задач обработки результатов испытаний является построение закона распределения случайной величины (статистической функции или статистической плотности распределения) по экспериментальным данным.

Часто для описания случайной величины достаточно знания ее числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, других моментов). В этом случае возникает необходимость в определении по результатам испытаний значений этих характеристик.

Поскольку объем выборки ограничен, то методы математической статистики позволяют находить лишь приближенные значения указанных характеристик, т. е. их оценки.

При оценивании параметров в математической статистике используют два подхода: точечное и интервальное оценивание. При точечном оценивании по результатам испытаний находят число (точку на числовой оси), которое принимают в качестве приближенного значения оцениваемого параметра. Полученное число называют оценкой параметра. В дальнейшем оценку параметра 0 будем обозначать 0^е и использовать символическую запись 0’ —> 0 (©‘является точечной оценкой параметра 0). В частности, параметром 0 может быть математическое ожидание т_х, дисперсия D_x, стандартное отклонение <з_х, вероятность наступления случайного события Р и другие параметры случайной величины.

Оценка случайного параметра 0 является функцией результатов испытаний, т. е. статистикой:

Следовательно, оценка 0* является случайной величиной с присущим ей законом распределения и числовыми характеристиками. Знание вероятностных характеристик позволяет выявить статистические свойства оценок, устанавливать их точность и на этой основе выбирать наилучшие оценки.

При интервальном оценивании определяют интервал, который с заданной вероятностью накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Границы интервала являются функциями результатов испытаний. Поэтому в общем случае границы интервала, а, следовательно, и сам интервал, будут случайными:

где — статистики, отличные от

статистики (5.1) и в каждом конкретном случае определяемые соответствующими соотношениями.

В математической статистике рассматриваемый интервал принято называть доверительным интервалом, а вероятность, с которой он накрывает истинное значение параметра, — доверительной вероятностью.

Основное назначение доверительных оценок — характеризовать качество точечных оценок, определяемое их точностью и надежностью (достоверностью).