Основные требования к оценкам
Вид оценки каждой числовой характеристики выбирают один раз применительно к исследованию любой случайной величины. Эту выбранную оценку используют во всех случаях нахождения неизвестных значений данной числовой характеристики. Поэтому оценки выбирают так, чтобы при их массовом применении обеспечивалась наибольшая точность определения числовых характеристик. Чтобы оценки имели такое свойство, к ним предъявляют соответствующие требования.
1. Оценка 0Х параметра 0х должна быть несмещенной, т. е. математическое ожидание оценки должно быть равно истинному значению искомого параметра:
Достоинством несмещенной оценки является то, что получаемые с ее помощью значения искомого параметра группируются около действительного значения этого параметра и при массовом применении такой оценки в среднем будут равны этому значению. Применение несмещенных оценок обеспечивает отсутствие систематических ошибок определения неизвестных значений характеристик.
Если М[0Х]>0Х, то оценку 0Х называют положительно смещенной, если М[0Х] < ©х, — отрицательно смещенной.
На практике иногда используют оценки, которые при малом объеме выборки п являются смещенными, но при увеличении п величина смещения стремится к нулю. Такие оценки называют асимптотически несмещенными. Оценка — асимптотически несмещенная, если выполняется условие
2. Оценка должна иметь минимальную дисперсию. Для одного и того же параметра можно подобрать не одну, а несколько несмещенных оценок. На рис. 5.1 показаны плотности вероятности /(0Х ) трех несмещенных оценок параметра 0х, полученные при одном и том же объеме выбооки п.
Как следует из рис. 5.1
имеют разные дисперсии.
Поэтому значения параметра 0х, полученные с помощью этих оценок, будут иметь различное рассеивание относительно истинного янячения ятого параметра. Очевидно, что наилучшей из оценок является оценка с наименьшей дисперсией.
Отсюда вытекает, что одновременно с требованием несмещенности оценка должна удовлетворять еще одному требова-
Рис. 5.1
нию. Необходимо, чтобы при данном числе испытаний оценка имела минимальную дисперсию. Несмещенная оценка, имеющая минимальную дисперсию, называется эффективной оценкой.
Минимальная дисперсия несмещенной оценки 0Х определяется выражением
где п — объем выборки из генеральной совокупности;
7(0х, х) — информационное количество Фишера.
где / (х, 0х) — плотность вероятности случайной величины X.
Выражение для минимальной дисперсии смещенной оценки записывается в виде [8]:
В качестве показателя эффективности оценки 0Х параметра 0х используют меру эффективности е, равную отношению минимально возможной величины дисперсии оценки к дисперсии данной конкретной оценки, (0 ^ е ^ 1). Очевидно, что для эффективной оценки е = 1. При сравнении по эффективности двух различных оценок 0Xi и 0Х2 одного и того же параметра 0х часто в качестве показателя используют асимптотическую относительную эффективность оценки 0Хг по оценке 0Xi [8]:
Показатель асимптотической относительной эффективности означает, что для определения оценки©^, с такой же точностью, как и оценки 0^., необходимо провести испытаний в еа раз меньше.
3. Оценка должна быть состоятельной, т. е. сходиться по вероятности с увеличением числа испытаний к оцениваемому параметру:
Состоятельная оценка должна быть асимптотически несмещенной, и с увеличением объема выборки дисперсия оценки должна уменьшаться. Поэтому в качестве состоятельности оценки можно принять одновременное выполнение двух равенств:
Таким образом, состоятельная оценка всегда асимптотически несмещенная и имеет минимальную дисперсию.
4. Желательно, чтобы оценка была прочной (робастной) или свободной (не зависящей) от распределения.
Часто до проведения исследований закон распределения случайной величины X неизвестен. Поэтому не ясно, какую оценку принять для параметра 0ж. Целесообразно в этом случае воспользоваться оценкой, эффективность которой при некоторых распределениях может быть меньше единицы, но вид ее не меняется с изменением закона распределения.
5. Размерность оценки должна совпадать с размерностью оцениваемого параметра.
На практике получить оценку, удовлетворяющую всем перечисленным требованиям, удается не всегда. Поэтому необходимо анализировать те последствия, к которым приводят отступления от того или иного требования.
Оценки, удовлетворяющие указанным требованиям, могут быть получены различными методами. Поскольку в дальнейшем будут использоваться уже полученные оценки параметров, то здесь эти методы не рассматриваются. Они достаточно полно изложены в литературе по математической статистике.
