Проверка адекватности регрессионной модели

Центральной задачей анализа уравнения регрессии является проверка адекватности модели. Только в рамках адекватной модели можно делать определенные выводы и принимать обоснованные решения. Неадекватная модель практической полезностью почти не обладает. Напомним, что под адекватностью модели понимают степень соответствия модели тому реальному процессу, для описания которого она вводится. (В нашем случае степень соответствия уравнения регрессии опытным данным.)

Для проверки адекватности уравнения регрессии необходимо, чтобы число степеней свободы было больше нуля. Число степеней свободы к определяется как разность между числом точек, в которых ставились эксперименты N, по которым оценивают коэффициенты Ъ., и числом этих коэффициентов т + 1. Таким образом, к = N - т~ 1.

При отрицательном числе степеней свободы к < 0, т. е. при (N <77i+ 1) метод наименьших квадратов не может быть использован. При к = О уравнение регрессии может быть получено, однако статистический анализ этого уравнения провести нельзя, ибо для проверки адекватности модели не остается степеней свободы. При к > 0 остаются степени свободы для проверки адекватности регрессионной модели.

Проверка адекватности регрессионной модели основана на сравнении рассеивания экспериментальных значений наблюдаемой переменной относительно линии регрессии с рассеиванием этих значений относительно своих математических ожиданий. Рассеивание экспериментальных значений относительно математического ожидания характеризуется дисперсией воспроизводимости Gy. Для характеристики рассеивания опытных точек относительно линии регрессии используют остаточную сумму квадратов отклонений экспериментальных значений выходной переменной от линии регрессии:

где у — значение выходной переменной, полученное в г-м эксперименте;

у{ — значение выходной переменной, полученное по уравнению регрессии.

Очевидно, чем больше эта сумма, тем больше рассеивание экспериментальных точек относительно линии регрессии. Однако величина остаточной суммы зависит еще и от количества экспериментов N. Даже при сравнительно небольших отклонениях у. от у{ за счет увеличения числа слагаемых N можно получить большое значение SR. Если разделить SR на число степеней свободы к = N - т - 1, то величина SR уже не будет зависеть от числа экспериментов. Величину остаточной суммы

S„, отнесенную к одной степени свободы, называют остаточной ^ 2 дисперсией (или дисперсией адекватности) и обозначают gr.

Таким образом

Остаточная дисперсия характеризует рассеивание экспериментальных точек относительно линии регрессии.

Для сопоставления рассеивания экспериментальных точек относительно линии регрессии с рассеиванием этих точек относительно своих математических ожиданий следует сравнить остаточную дисперсию Стд с дисперсией воспроизводимости а2у. С этой целью используется F-отношение Снедекора-Фишера:

Задаваясь определенным уровнем значимости а (обычно назначают а = 0,1;0,02), по числу степеней свободы 1 = N — т — 1 для вычисленной остаточной дисперсии и к2 — для дисперсии воспроизводимости входят в таблицы F-распределения. Проверяемая гипотеза об адекватности уравнения регрессии не отвергается, если

В противном случае регрессионную модель считают неадекватной. Число степеней свободы к2 для дисперсии воспроизводимости определяется исходя из формул, по которым оценивалась эта дисперсия.

Подробно методика проверки гипотез о равенстве дисперсий изложена в п. 6.3.2. При этом числа степеней свободы /с: и к2 выбирают следующим образом. Если остаточная дисперсия сук оказалась больше дисперсии воспроизводимости стто принимают кх = N ~ т ~ 1 и к2, равное числу степеней свободы, при котором получена оценка дисперсии воспроизводимости.

Если же большим оказалось значение дисперсии воспроизводимости, то принимают kv равное числу степеней свободы для дисперсии воспроизводимости, и к2 = N - т - 1. При вычислении значения F-отношения в числитель дроби всегда подставляют большую оценку дисперсии и гипотезу о равенстве дисперсий отвергают, если окажется, что f > fa.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >