Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах

Во многих случаях, когда тело ограничено поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями, плоскую задачу теории упругости удобно рассматривать в полярной системе координат.

Совместив полюс полярной системы координат (г, 0) с началом декартовой системы координат (х, у), а полярную ось — с осью абсцисс Ох (рис. 18.1), нетрудно установить связь между координатами произвольной точки М в этих двух системах координат:

Обратные зависимости имеют вид

Рис. 18.1

Уравнения плоской задачи теории упругости в полярной системе координат могут быть получены путем преобразования уравнений главы 17 с использованием зависимостей (18.1) и (18.2). Однако более просто вывести все уравнения непосредственно в полярной системе координат.

Уравнения равновесия. Выделим из нагруженного плоского тела бесконечно малый элемент abed (рис. 18.2), образованный двумя концентрическими окружностями с радиусами гиг + dm двумя лучами, проведенными под углами 0 и 0 + dQ к оси Ох. Толщину элемента примем равной единице.

На гранях ad и ab элемента действуют радиальные г и тангенциальные о0 нормальные напряжения и касательные напряжения Тг0 = т, а на гранях Ьс и сd эти напряжения получают соответствующие приращения. Кроме того, на элемент могут действовать по направлениям г и 0 составляющие R и 0 объемной силы.

Рис. 18.2

Составив проекции всех сил, приложенных к элементу, на две взаимно перпендикулярные оси О'пи O't, проходящие через центр тяжести О'элемента, получим

Отбрасывая в этих уравнениях слагаемые, содержащие произведение трех дифференциалов независимых переменных г и 0, и полагая в силу малости угла dQ

после деления всех членов на площадь rdrdQ элемента abed получим уравнения равновесия для плоской задачи в полярных координатах:

Геометрические уравнения. Рассмотрим перемещения и деформации бесконечно малого элемента abed (рис. 18.3). Перемещение и произвольной точки тела в направлении радиуса называется радиальным перемещением, а перемещение v в направлении, перпендикулярном к радиусу, — окружным перемещением. Относительное удлинение гг стороны ab элемента называется радиальной деформацией, а относительное удлинение ?0 дуги ad — окружной деформацией. Относительная угловая деформация уг0 представляет собой искажение прямого угла bad.

Рис. 18.3

Рассмотрим каждый вид деформации по отдельности.

Относительное удлинение стороны ab (рис. 18.3, а) равно разности перемещений точек аийв направлении радиуса, деленной на первоначальную длину ab = dr.

Окружная деформация ?0 происходит по двум причинам: вследствие перехода дуги ad = rdQ на окружность большего радиуса

г' = г + и (рис. 18.3, б), в результате чего длина дуги становится равной a]dl = (г + u)dQ, а относительное удлинение

и вследствие разности перемещений точек and в окружном направлении (рис. 18.3, в):

Полная окружная деформация равна

При определении угловой деформации уг0 = ос +13 (рис. 18.3, г) изменение длин сторон элемента abed с точностью до величин высшего порядка малости можно не учитывать. Поскольку смещение элемента как жесткого целого в направлении радиуса не вызывает искажения его углов, радиальное перемещение и точки а на рисунке не показано. Жесткое вращение элемента вокруг полюса О на угол |/ = и/г вызывает поворот стороны ab на тот же угол.

Рассматривая рис. 18.3, г, найдем

Учитывая, что

после несложных преобразований получим

Запишем все три геометрических соотношения:

Закон Гука. Уравнения закона Гука в полярных координатах получаются из соответствующих уравнений в декартовых координатах заменой индексов х и у на г и 0.

Для плоского напряженного состояния прямые (17.17) и обратные (17.18) уравнения закона Гука записываются в виде

Соответствующие уравнения для плоской деформации можно получить из (18.5) и (18.6) путем замены постоянных упругости Е и v на приведенные постоянные упругости Е{ и v,, определяемые по формулам (17.8):

Связь между напряжениями в декартовых и полярных координатах. Выделим из плоского тела два бесконечно малых элемента в виде призмы с основаниями, имеющими форму прямоугольного треугольника (рис. 18.4 и 18.5). Грани АС, ВСиА'С', В'С' элементов параллельны осям Ох и Оу декартовой системы координат. Грань АВ на рис. 18.4 перпендикулярна, а грань А'В' на рис. 18.5 параллельна радиальному направлению полярной системы координат.

Рис. 18.4

Рис. 18.5

Выражения для напряжений аг, о0, тг0 через напряжения ах, о , т получаются из формул (4.25), (4.26) заменой индексов v и t

У лУ

на г и 0 и угла а на 0:

Эти выражения можно вывести, если составить проекции всех сил, приложенных к граням элементов ЛВС и Л'В'С', соответственно на радиальное и окружное направления.

С помощью несложных преобразований соотношений (18.8) можно получить выражения для напряжений ov, а„, т через

х у ху

Gr’ °9’ ХГ0:

Сложив почленно первые две из формул (18.8) или (18.9), получим подтверждение известного свойства первого инварианта тензора напряжений при двухосном напряженном состоянии:

Уравнения неразрывности деформаций. В § 17.3 было получено уравнение неразрывности деформаций в напряжениях (17.19) в декартовой системе координат для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю. Это уравнение имеет вид

где

оператор Лапласа.

Для того чтобы записать оператор Лапласа в полярных координатах, установим связь между частными производными произвольной функции в декартовых и полярных координатах.

Из курса высшей математики известны формулы для определения частных производных сложной функции двух переменных:

С учетом (18.1) и (18.2) получим

Используя эти соотношения, найдем частные производные функции ср первого и второго порядка и выражение V2cp:

Аналогично получим

Таким образом, в полярной системе координат уравнение неразрывности деформаций плоской задачи в напряжениях для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю, имеет вид

где

оператор Лапласа в полярных координатах.

Уравнение неразрывности (18.17) и уравнения равновесия (18.3) образуют полную систему трех уравнений с тремя неизвестными

аг’ ав’ т/-е-

Как и при решении плоской задачи в декартовых координатах, систему трех уравнений можно свести к одному бигармоническому уравнению относительно функции напряжений <р, аналогичному уравнению (17.21):

или в развернутом виде

Если формулы (17.25) преобразовать с помощью (18.14)— (18.16) и затем подставить в (18.8), то при отсутствии объемных сил получаются следующие выражения для напряжений через функцию ср:

Если учесть, что напряжения аг, о0 и тг0 в полярных координатах при 0 = 0 совпадают с напряжениями соответственно ах, ау и %х , то соотношения (18.21) можно получить также из выражений (18.15), (18.14) и (18.16), положив в них 0 = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >
 

Популярные страницы