ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Нормальный закон распределения

В различных отраслях науки и техники, а также метрологической практике закон нормального распределения (или просто нормальный закон) нашел наибольшее применение. Этому закону подчиняются многие случайные непрерывные величины. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X представляет собой сумму взаимно независимых случайных величин х_р х₂, ..., х , влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо оттого, каким законам распределения подчиняется каждое из слагаемы х_п, сама величина X будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности случайной непрерывной величины, подчиняющейся нормальному закону, имеет вид:

где х — переменная случайная величина (результат наблюдений); о_х, а_д — среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений случайной составляющей их погрешности; т_х - математическое

ожидание; в — основание натуральных логарифмов, е = 2, 71828.

Следует помнить, что о_х = а_д.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде колоколообразной кривой (кривая Гаусса), представленной на рис. 5.8.

Функция Ф(А) нормированного нормального распределения (интеграл Гаусса) в табличном виде представлена в приложении А.

Как видно на рис. 5.8, кривая нормального распределения случайной величины х результатов измерений симметрична относительно математического ожидания.

Если х — результаты многократных наблюдений одной и той же детерминированной физической величины, то указанная выше кривая симметрична относительно математического ожидания результатов этих наблюдений.

Как уже говорилось ранее, если в качестве случайной величины принята случайная погрешность А со средним квадратическим отклонением а_д, эта кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 5.9).

Положение кривой Р_х(х) =/(х) относительно начала координат определяется значением математического ожидания. Причем обычно на практике берется не математическое ожидание, а среднее арифметическое результатов многократных наблюдений X.

Форма кривой нормального распределения определяется параметром а. Как было показано ранее, чем меньше а, тем более островершинной становится кривая, а ее ветви сближаются (см. рис. 5.4).

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х_р х₂] равна площади под кривой нормального распределения, ограниченной нижней Xj и верхней х₇ границами доверительного интервала (рис. 5.10).

Выразим это математически:

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Производя замену переменных и их подстановку, получим

В теории вероятностей и метрологии для определения вероятности попадания результата наблюдений в некоторый интервал применяется так называемая нормированная функция Лапласа Ф(Z) =

= которая табулирована. Условия нормирования

заключаются в том, что значение среднего арифметического результатов измерений X принимается равным нулю, а среднее квадратическое отклонение о = 1. В этом случае параметром является величина

Значения функции Лапласа приведены в приложении Б. Используя функцию Лапласа, можно следующим образом определить вероятность попадания результата наблюдения X в интервал (х, х₂):

Приведенное выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [х_р х-,] равна разнице значений функции Лапласа в точках верхней и нижней границ доверительного интервала.

При рассмотрении этой формулы следует иметь в виду, что O(-Z) = = -0(Z).

Моменты функции распределения случайной погрешности А, распределенной по нормальному закону:

Интегральная функция нормального распределения, представленная на рис. 5.11, выражается через дифференциальную следующим образом:

Рис. 5.11

Правило трех сигм. На практике достаточно часто требуется оценить вероятность того, что отклонение нормально распределенной величины X по абсолютному значению не превышает определенный размер, который обычно принимается равным положительному числу 8.

Другими словами, требуется найти вероятность того, что осуществляется неравенство Х-а< 5.

Это неравенство равносильно следующему: - Ь<Х-а<Ь или (а-Ъ)<Х< (а +5).

Используя правило, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал равна разнице значений функции Лапласа на границах этого интервала, т.е. Р(а< Х< (3) =

= ', получим

При а = 0 получим

Если положить, что 5 = За, получим

Таким образом, вероятность отклонения истинного значения случайной величины X по абсолютному значению будет меньше утроенного значения среднего квадратического отклонения. Это и есть правило трех сигм.

Формулируется оно следующим образом: если случайная величина распределена нормально, то абсолютное значение максимального отклонения результата измерения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Это правило применимо и следующим образом: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм, соблюдается, то есть основание предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально, в противном случае — нет.

Контрольные вопросы

• 1. Дифференциальная функция распределения результатов измерений и случайной погрешности, подчиняющаяся нормальному закону. Аналитическая зависимость, графический вид, начальный и центральные моменты.
• 2. Интегральная функция, соответствующая нормальному закону распределения.
• 3. Правило трех сигм.