Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Агропромышленность arrow Прикладные методы для решения задач электроэнергетики и агроинженерии

Методы решения квадратных систем линейных уравнений

Система линейных уравнений, в которой количество уравнений равно числу неизвестных, называется квадратной системой линейных уравнений. Например, квадратной является система уравнений

В табличной форме такая система будет иметь вид квадрата.

В то же время системы

не являются квадратными, так как в первой (3.19) количество уравнений больше числа неизвестных, а во второй (3.20) количество уравнений меньше числа неизвестных.

Для квадратных систем линейных уравнений существует теорема [7], согласно которой система линейных уравнений, позволяющая путем преобразования таблиц с разрешающими элементами поменять местами все свободные члены на неизвестные системы, имеет единственное решение. Если это сделать нельзя, то система не имеет решения либо имеет бесчисленное множество решений.

Рассматриваемая формулировка задачи путем использования преобразования таблиц указывает и на способ решения, заключающийся в замене всех неизвестных на свободные члены.

При решении систем линейных уравнений, даже имеющих сравнительно небольшое количество неизвестных, требуется большой объем вычислений. Например, при решении трех линейных уравнений с тремя неизвестными необходимо выполнить 84 вычисления, а при решении системы из пяти уравнений — 430 вычислений.

Для сокращения объема вычислений разработано несколько методов. Рассмотрим наиболее часто употребляемые методы.

Метод нуль-таблиц

Применение метода поясним на конкретном примере. Предположим, что мы имеем систему линейных уравнений следующего вида:

Перенеся свободные члены в левые части уравнения, получим систему:

Системы такого вида обычно называют 0-системами, а соответствующие им таблицы — 0-таблицами. При этом свободные члены в 0-таблицах записываются отдельным столбцом и отделяются от остальных элементов таблицы чертой. Запишем систему уравнений (3.22) в виде таблицы

Выполним преобразование таблицы с разрешающим элементом, взятым в рамку. Получим новую таблицу

Вычеркнем 0-столбец и перепишем таблицу:

Преобразованием таблицы с разрешающим элементом 1, взятым в рамку, перебросим наверх еще один нуль, стоящий слева от таблицы:

Вычеркнем 0-столбец и перебросим наверх нуль, оставшийся слева от таблицы, для чего произведем преобразование с разрешающим элементом 3, взятым в рамку:

Вычеркнем 0-столбец и окончательно получим:

или

Метод 0-таблиц позволяет после каждого преобразования уменьшать размер таблицы за счет вычеркивания столбца, что приводит к значительному сокращению вычислительных работ. Например, при рассмотрении системы из пяти уравнений удается вместо 430 вычислительных процедур ограничиться 270 вычислениями.

Метод Гаусса

Основное отличие метода Гаусса от метода 0-таблиц заключается в том, что вычеркиваются из таблицы не только разрешающий столбец, но и разрешающая строка, которая предварительно запоминается и записывается. В результате удается сократить количество вычислений.

Для уяснения метода Гаусса рассмотрим следующую систему уравнений

Перенеся свободные члены в левые части уравнения, получим:

Представим систему в виде 0-таблицы и проведем преобразование с разрешающим элементом, стоящим на пересечении первой строки и третьего столбца:

Выпишем разрешающую строку

Вычеркнем разрешающую строку и 0-столбец. Получим следующую таблицу

Выполним преобразование с элементом, взятым в рамку, и запишем разрешающую строку

Вычеркнем разрешающую строку и 0-столбец из таблицы.

В оставшейся таблице проведем последнее преобразование. В результате получим х0 = 0.

Так как

Следовательно

Рассмотренный подход решения квадратной системы линейных уравнений не всегда позволяет найти единственное решение. Как отмечалось ранее, это возможно только в том случае, если путем преобразования таблиц с разрешающими элементами можно поменять местами неизвестные системы и свободные члены.

Пример 3.2. Имеется система уравнений:

Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение. 1. Представим систему уравнений в виде 0-таблицы и проведем преобразование путем перевода всех нулей наверх. При этом в процессе преобразования разрешающие столбцы будем опускать, а разрешающие строки выписывать.

2. Преобразование в последней таблице выполнить нельзя вследствие того, что строка противоречива, 0! = 36. Следовательно, система уравнений не имеет решения.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы