Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика и экономико-математические модели

Применение определителей для решения систем алгебраических уравнений (правило Крамера)

Пусть дана система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

Вычислим определители

Величина Д называется главным определителем системы.

Пусть Д не равно нулю. Тогда существует единственное решение системы уравнений (3.11):

Если главный определитель системы равен нулю, то:

  • 1) если хотя бы один из остальных определителей отличен от нуля, то система (3.11) несовместна (решений нет);
  • 2) если все определители равны нулю, то существует бесконечно много решений этой системы (одно или несколько уравнений являются линейными комбинациями остальных).

Матрицы

Определение 3.2. Назовем матрицей упорядоченный прямоугольный набор чисел, который можно представить в виде таблицы:

Определение 3.3. Минором матрицы называется определитель, полученный из элементов матрицы вычеркиванием одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк.

Определение 3.4. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:

rang А = Rg А — ранг матрицы А.

Определение 3.5. Если ранг матрицы равен г, то любой минор порядка г, отличный от нуля, называется базисным минором, а строки и столбцы, на которых он построен, называются базисными.

Рассмотрим матрицы-столбцы

А = В, если они имеют одинаковое число строк и для любого i выполнено равенство щ = Ь,.

Из определения этих операций очевидны следующие свойства:

Определение 3.6. Пусть даны столбцы А,,А2, ..., Ак.. Назовем

к

столбец В=Х яг; А,, линейной комбинацией исходных столбцов.

/ = 1

Определение 3.7. Говорят, что столбцы А,, А2,... к линейно зависимы, если существует такая их линейная комбинация

что не все коэффициенты ос, равны нулю. Если же равенство (3.14) возможно только при условии равенства всех коэффициентов ос, нулю, то столбцы называются линейно независимыми.

Теорема 3.1 (теорема о базисном миноре). Каждый столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных столбцов.

Доказательство. Пусть Rg А - г. Для определенности будем считать, что минор порядка г, не равный нулю, расположен в левом верхнем углу матрицы:

Возьмем новый минор

Ясно, что для любого значения числа j этот определитель равен нулю, так как он имеет порядок г + 1. Отсюда следует, что столбцы определителя являются линейно зависимыми. Покажем это.

Разложим определитель (3.15) по последней строке:

Здесь ск — алгебраическое дополнение элемента V

По крайней мере одно число с, не равно нулю в (3.16), так как оно равно по модулю определителю S ф 0. Соотношение (3.16) справедливо для любого7, поэтому можем записать:

Соотношение (3.17) показывает, что любой i-й столбец является линейной комбинацией базисных столбцов.

Следствие: если определитель равен нулю, то его столбцы линейно зависимы.

Теорема 3.2 (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых ее столбцов.

Доказательство. Пусть ранг матрицы равен Rg А = г. Докажем, что базисные столбцы матрицы линейно независимы.

Если бы они были линейно зависимы, то столбцы базисного минора также были бы линейно зависимы, следовательно, он был бы равен нулю.

Покажем теперь, что любой набор г + 1 столбцов линейно зависим. Введем матрицу А', содержащую г + 1 выбранных столбцов. Очевидно, что Rg А' < г, следовательно, число базисных столбцов матрицы А' не превосходит г, так что эти столбцы линейно зависимы.

Замечание: все сказанное о столбцах относится и к строчкам.

Следствие: для каждой матрицы максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк.

Теорема 3.3. Ранг матрицы не изменится, если к некоторому ее столбцу прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов.

Теорема 3.4. Пусть в некоторой матрице имеется г линейно независимых столбцов, а любой другой ее столбец можно представить в виде линейной комбинации этих столбцов. Тогда Rg А = г.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы