Системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

Обозначим решения системы (3.18) через

{*„х2, ...,*„}и {ух,у2, ... ,у„].

Они равны, если = у, V/. В дальнейшем будем рассматривать вектор-столбец решения:

Обозначим — основная матрица системы,

а — расширенная матрица системы.

Теорема 3.5 (теорема Кронекера—Капелли). Система линейных уравнений (3.18) совместна (имеет решение) в том и только в том случае, когда Rg А = Rg В.

Доказательство.

1. Пусть решение существует, тогда имеем равенство

Равенство (3.19) означает, что последний столбец матрицы В является линейной комбинацией столбцов матрицы А, следовательно, Rg В < < Rg А, а, так как матрица В включает в себя матрицу А, то Rg А = Rg В.

2. Пусть теперь Rg А = Rg В. Покажем, что система совместна.

Так как базисный минор матрицы А является базисным минором матрицы В, вектор-столбец b можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы А (к базисным столбцам добавляем остальные с нулевыми коэффициентами).

Фундаментальное семейство решений

Рассмотрим однородную систему уравнений

Нас будет интересовать нетривиальное (ненулевое) решение этой системы.

Пусть Rg А = г. Тогда существует г линейно независимых уравнений системы (3.20). Пусть это будут первые г строк. Это всегда можно сделать перестановкой уравнений. Тогда имеем систему

Если некоторый вектор X' является решением системы (3.21), то и сХ', где с — некоторая константа, тоже является решением этой системы. Кроме того, если X' и X" два различных решения, то их сумма X' + X” — тоже решение.

Рассмотрим различные варианты.

  • 1. Пусть г = п. тогда, по правилу Крамера решение единственное.
  • 2. Пусть г < п. Тогда решений может быть несколько.

Определение 3.7. Говорят, что некоторый набор решений системы

(3.21) является фундаментальным семейством решений, если эти решения линейно независимы и любое другое решение можно представить в виде их линейной комбинации.

Теорема 3.6. Если г < п, то система (3.21) имеет фундаментальное семейство решений. При этом каждое фундаментальное семейство состоит из (пг) решений.

Определение 3.8. Линейная комбинация фундаментального семейства с произвольными коэффициентами называется общим решением системы (3.21).

Рассмотрим теперь две системы уравнений:

и

Теорема 3.7. Пусть Хо — какое-либо решение неоднородной системы

  • (3.22) , a Xi, Х2, Xk — фундаментальное семейство решений системы
  • (3.23) . Тогда общее решение системы (3.22) имеет вид

где с, — произвольные константы.

По-другому это выражение можно записать следующим образом:

Здесь j-й вектор фундаментального семейства.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >