Действия над матрицами

Определение 3.9. Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов в них одинаково и все соответствующие элементы равны.

Определение 3.10. Суммой двух матриц, имеющих одинаковое строение, называется матрица такого же строения, все элементы которой являются суммой соответствующих элементов данных матриц.

Определение 3.11. Произведением матрицы на число является матрица того же строения, каждый элемент который получен из соответствующего элемента исходной матрицы умножением на это число.

Определение 3.12. Нулевой матрицей О называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Введенные операции имеют следующие свойства:

Умножение матриц

Пусть число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

Определение 3.13. Произведением АВ называется матрица С = АВ, число строк которой равно числу строк матрицы А, число столбцов числу столбцов матрицы В. Элементы матрицы С определяются следующим образом:

Свойства операции умножения:

Необходимо помнить, что АВ не равно ВА.

Транспонирование матриц

Определение 3.14. Пусть дана матрица . Матрица

называется транспонированной.

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

Теорема 3.8. Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей.

Определение 3.15. Определитель, составленный из всех элементов квадратной матрицы, называется ее детерминантом, что записывается следующим образом: d = det А = |А|.

Теорема 3.9. Пусть А и В квадратные матрицы одного порядка п*п, а С = АВ. Тогда det С = det A-det В = |А|-|В|.

Определение 3.16. Назовем единичной матрицей матрицу Е, все элементы которой, лежащие на главной диагонали, равны 1, а все остальные — 0.

Имеем: АЕ = ЕА = А; |Е| = 1.

Определение 3.17. Пусть А — квадратная матрица. Назовем матрицу В обратной к матрице А, если АВ = Е. Если |А| = 0, то обратной матрицы не существует, в этом случае матрица А называется вырожденной.

Любая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Если В — матрица, обратная к матрице А, то АВ = BA = Е.

Теорема 3.10. Пусть АВ = С, В — квадратная матрица, причем |В| ф 0. Тогда Rg А = Rg С.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >