Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Определение 4.13. Пусть L — подпространство пространства R, а А есть некоторое линейное преобразование. Если для любого элемента х из L Ах принадлежит L, то L называется пространством, инвариантным относительно преобразования Л.

Очевидно, что суммы и пересечения инвариантных подпространств являются инвариантными подпространствами.

Определение 4.14. Ненулевой элемент х называется собственным вектором преобразования, если существует такое число к, что Ах = кх. Число к называется собственным числом этого преобразования, соответствующего собственному вектору х.

Рассмотрим это в матричном виде. Пусть вектор х равен

Имеем Ах = кх.

Поскольку преобразование А однозначно описывается соответствующей матрицей, далее будем вести запись в матричной форме: Ах: = = кх.

Умножим это вьгоажение слева на единичную матрицу Е:

Отсюда следует, что матрица (А - кЕ) — вырожденная, т.е. число к будет собственным числом, если оно является корнем уравнения

Иначе говоря, имеем из (4.9)

Определение 4.15. Многочлен (4.10) называется характеристическим многочленом преобразования А.

Теорема 4.5. Если линейное преобразование имеет собственный вектор, то соответствующее ему собственное число является корнем характеристического уравнения.

Теорема 4.6. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Теорема 4.7. В комплексном пространстве каждый корень характеристического уравнения является собственным числом, а в вещественном пространстве каждый действительный корень является собственным числом, а каждому комплексному корню соответствует двумерное инвариантное пространство.

Теорема 4.8. Множество собственных векторов соответствующих одному значению собственного числа к, образует подпространство, если к ним добавить нулевой вектор.

Теорема 4.9. Если линейное преобразование имеет п линейно независимых собственных векторов, то в базисе из этих векторов матрица преобразования имеет диагональный вид. Наоборот, если в некотором базисе матрица преобразования имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными, а числа, стоящие на главной диагонали, являются собственными числами.

Лемма к теореме 4.9. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >