ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

8.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Определение 8.1. Вектором называется отрезок прямой, которому приписано определенное направление, т.е. один конец отрезка считается началом, а другой — концом вектора.

Вектор, соединяющий две точки (А и В), обозначается . Вектор, имеющий нулевую длину, есть нулевой вектор, или нуль-вектор.

Длина вектора (или его модуль):

Определение 8.2. Два вектора считаются равными, если один из них может быть получен из другого с помощью параллельного переноса.

Из определения 8.2 легко можно получить следующие соотношения:

если а = Ь, то b = а; если а = b, b = с, то а = с.

Определение 8.3. Суммой векторов а и b называется вектор, который будем обозначать с = а + Ь, началом которого служит начало вектора а, а концом — конец вектора Ь, если начало вектора b совмещено с началом вектора а (рис. 8.1).

Определение суммы векторов

Рис. 8.1. Определение суммы векторов

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

Определение 8.4. Если векторы антипараллельны и равны по модулю, то они взаимно обратны. Вектор, обратный к вектору а, обозначается b - -а. Очевидно, что а + (-а) - 0.

Определение 8.5. Разностью векторов а и b называется вектор а-Ь, который в сумме с b дает а.

Докажем, что такой вектор существует. Пусть х + b = а. Имеем ряд соотношений:

Таким образом, разность двух векторов, если она существует, определена единственным образом.

Определение 8.6. Произведением вектора а на число а называется вектор, который определяется следующим образом: его модуль равен |а||а|, он расположен на той же прямой, что и а, и направлен в ту же сторону, если а > 0, и направлен в противоположную сторону, если а< 0.

Имеем следующие соотношения:

Определение 8.7.Пусть имеется п векторов и п чисел:

Тогда сумма

называется линейной комбинацией векторов.

Определение 8.8. Векторы а,, а2, а3,..., а„ называются линейно зависимыми, если существует такая их линейная комбинация (8.1), которая равна нулю (нуль-вектору), при условии, что хотя бы один из коэффициентов сс, не равен нулю.

Если соотношение (8.1) равно нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты (X, равны нулю, то векторы называются линейно независимыми.

Теорема 8.1. Векторы являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство. 1. Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда (8.1) равно нулю, хотя не все коэффициенты от равны нулю. Пусть Д Ф 0. Поскольку

то, поделив (8.2) на Д, получим

Выражение (8.3) означает, что если векторы линейно зависимы, то один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

2. Предположим теперь, что Имеем

т.е. если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то векторы линейно зависимы.

Следствия.

  • 1. Если в некоторый набор векторов входит нулевой вектор, то этот набор является линейно зависимым.
  • 2. Если в некотором наборе векторов часть из них будут линейно зависимы, то и весь набор линейно зависимый.
  • 3. Если некоторый набор векторов линейно независим, то и любая его часть тоже линейно независима.

Определение 8.9. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой.

Пусть а ф 0. Тогда для любого Ь||а «||» знак коллинеарности) существует, притом только одно, число ос такое, что b = оса.

Теорема 8.2. Два вектора коллинеарны в том и только в том случае, когда они линейно зависимы.

Теорема 8.3. Если два вектора а и b не коллинеарны, то любой вектор, лежащий в той же плоскости, единственным образом можно представить в виде линейной комбинации исходных векторов, т.е.

с = оса + |ЗЬ. (8.4)

Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в одну точку

О. Обозначим через С концевую точку вектора с. Построим на этих точках параллелограмм так, что ОС — его диагональ, а сторона ОА||а и сторона ОВЦЬ (это, очевидно, можно сделать).

Можно записать, исходя из определения суммы, что

с = ОС = О А + ОВ, но, поскольку 04||а, О В ||Ь, то

О А = оса, ОВ = ДЬ => с = оса + дь. Таким образом, доказана возможность разложения.

Пусть теперь имеется другое разложение: с = аг,а+ДЬ. Вычтем из одного разложения другое: 0 = (а - осх )а + (Д- Д )Ь, но так как а и b линейно независимы, то ос = ах; Д = Д.

Определение 8.10. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Замечание. Три вектора компланарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы.

Теорема 8.4 (о разложении вектора в пространстве). Пусть векторы а, Ь, с не компланарны. Тогда любой вектор d можно, и притом единственным образом, представить в виде линейной комбинации исходных векторов.

Следствие: любые четыре вектора линейно зависимы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >