Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика и экономико-математические модели

Скалярное произведение

Определение 8.18. Углом между двумя векторами называется наименьший из углов, образуемых этими векторами (рис. 8.2).

Угол между векторами

Рис. 8.2. Угол между векторами

Определение 8.19. Скалярным произведением векторов b и а называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: (а, b) = acos

Свойства скалярного произведения:

Векторное произведение

Определение 8.20. Говорят, что три вектора а, Ь, с образуют правую тройку, если кратчайший поворот от а к b кажется со стороны вектора с происходящим против часовой стрелки. В противном случае — это левая тройка.

Определение 8.21. Векторным произведением векторов а и b называется вектор, который обозначается [а, Ь] и обладает следующими свойствами (рис. 8.3):

8) если дан ортонормированный базис i, j, к, то где

К определению векторного произведения

Рис. 8.3. К определению векторного произведения

Смешанное произведение векторов

Определение 8.22. Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с, взятых в данном порядке, называется число V - (а, [Ь, с]) = (а, Ь, с).

Свойства смешанного произведения:

  • 1) (а, Ь, с) = 0 => а, Ь, с — векторы компланарны;
  • 2) если параллелепипед построен на векторах а, Ь, с, то его объем равен V = |(а, Ь, с)|;
  • 3) смешанное произведение (а, Ь, с) > 0, если а, Ь, с — правая тройка, и меньше 0, если левая тройка;
  • 4) (а, Ь, с) - (Ь, с, а) = (с, а, Ь) = (Ь, а, с);
  • 5) пусть задан базис е,, е2, е3 и пусть в этом базисе

Если базис ортонормированный, то

8)

Изменение координат при изменении базиса

Пусть задан базис е,,е23 и пусть имеется некоторый набор векторов е', ,е'2,е’3, который также может рассматриваться как базис. Пусть имеется соотношение

Коэффициенты этого преобразования образуют матрицу, которая полностью определяет его свойства.

Матрица

называется матрицей преобразования.

Координаты вектора при переходе от одного базиса к другому преобразуются следующим образом.

Пусть а = хе, +уе2 + ze3 =х’е’1 + /e,2+z'e’3.

Тогда получим:

Как можно заметить, матрицы перехода от одного базиса к другому и обратно являются транспонированными относительно друг друга, т.е. у второй матрицы на месте строк находятся столбцы и на месте столбцов находятся строки.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы