Различные формы задания плоскости

1. Пусть даны три вектора: го, а, b (а не коллинеарно Ь).

Тогда имеем

2. Пусть даны три вектора п, гг, гз, не лежащие на одной прямой:

или

  • 3. Ах + By + Cz + D = 0.
  • 4. Уравнение плоскости в отрезках

  • 5. Пусть п — вектор нормали к плоскости, а Го — радиус-вектор точки плоскости, г — радиус-вектор произвольной точки плоскости:
    • (г-г0В, п) = 0.

Пусть |n| = 1. Возьмем произвольную точку г'. Аналогично тому, что мы уже делали в п. 9.1, получим:

a) каноническое уравнение плоскости х cos а + у cos/? + z cos у- р = 0.

Здесь а, Д у — углы между вектором нормали и осями координат;

n = (cosar, cos/?, cos 7);

b) расстояние от точки (х у', z) до плоскости равно

c) из общего уравнения Ах + By + Cz + D = 0 каноническое уравнение получается делением на 2 + В22.

Знак радикала выбирается таким образом, чтобы свободный коэффициент был отрицательным.

d) из а) и с) следует, что вектор N = (А, В, С) перпендикулярен плоскости

Теперь получаем условие перпендикулярности двух плоскостей (9.18) иГ9.191:

Прямая линия в пространстве

Пусть даны векторы го, определяющий точку на прямой, на — лежащий на прямой. Тогда уравнение прямой может быть записано в параметрической форме: г = го+ аа или

Из (9.22) легко может быть получено соотношение:

Если взять две точки прямой ri и гг, то получим каноническое уравнение прямой в пространстве: или

Здесь использовано: го- ri; а = Г2-Г1.

Пусть теперь даны плоскость Ах + By + Cz + D = § w прямая (9.24). Уравнение (9.24) можно записать в виде:

Подставим это в уравнение плоскости:

Если аА + ЬВ + сС = 0, то прямая и плоскость параллельны. Отсюда следует вывод, что вектор {а, Ь, с) параллелен прямой.

Ортогональность и параллельность

Две прямые ортогональны, если aai + bj + ссг = 0 и параллельны, если а/аг = Ъ/Ь>г = с / съ

Прямая (х - xi) / а = (у - yi) / b = (z - zi) / с и плоскость Ах + By + Cz + + D = 0 ортогональны, если а/А = Ь/ В = с/ Си параллельны, если аА + +ЬВ + сС = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >