Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика и экономико-математические модели

ИНТЕГРАЛ РИМАНА (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

Интеграл Римана

Определение 22.1. Пусть функция у = Дхг) определена на отрезке [а, Ь]. Разобьем этот отрезок на п частей:

Положим Ах, = хмг

Обозначим Я - шах Ах,.. Назовем это число X диаметром разбиения.

На каждом отрезке [х;-, x,+i] выберем произвольную точку ^ и составим сумму

Сумма (22.2) называется интегральной суммой функции у = Дх), соответствующей разбиению (22.1) и выборке

Определение 22.2. Пишут

если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для любого разбиения с диаметром X < 8 будет |/ - а| < ?.

Определение 22.3. Пусть для некоторой функции у = Дх) существует предел (22.3). Тогда функция называется интегрируемой на отрезке [а, Ъ по Риману и пишут

Замечание 1. Если функция у =Дх) не ограничена на отрезке [а, Ь], то она заведомо неинтегрируема.

Введем следующие обозначения:

Пусть снова фиксировано разбиение (22.1).

Определение 22.4. Интегральные суммы

называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими данному разбиению.

Замечание 2. Очевидно, что s <о < S . Кроме того, при фиксированном разбиении 5 = super по всем выборкам этого разбиения; 5 = infer по всем выборкам этого разбиения.

Замечание 3. Если дополнить разбиение (22.1) новыми точками, то верхняя сумма Дарбу S может только уменьшиться, а нижняя сумма Дарбу s может только увеличиться.

Упражнение. Доказать утверждения замечаний 2 и 3.

Отсюда следует вывод, что любая верхняя сумма Дарбу ограничена снизу (например, любой нижней), а любая нижняя ограничена сверху (например, любой верхней). Таким образом, всегда существуют точные грани:

Определение 22.5. Точная нижняя грань верхних сумм Дарбу называется верхним интегралом, а точная верхняя грань нижних сумм Дарбу называется нижним интегралом.

Замечание 4. Все изложенное справедливо даже для разрывных функций.

Теорема 22.1. Для того чтобы функция у =Дх) была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы существовал и равнялся нулю предел

Доказательство.

Достаточность. Пусть выполнено соотношение (22.9). Тогда, очевидно, Пусть задано е > 0. Выберем 6(e) такое, чтобы при X < 8

было Тогда

Изменив знак в первом неравенстве и сложив его со вторым, получим: и для любой выборки.

Необходимость. Пусть функция у =j(x) интегрируема. Тогда

Фиксируем ^.-разбиение и при этом разбиении возьмем точные верхние и нижние грани по всем выборкам. Тогда справедливы следующие соотношения:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы