ТЕОРЕМЫ БАРРОУ И НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА. ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ

Теоремы Барроу и Ньютона—Лейбница

Теорема 23.1. Пусть функция у -fix) интегрируема на [а, Ь. Возьмем произвольную точку х из [а, b] и введем в рассмотрение функцию

Определенная таким образом функция непрерывна на отрезке [а, Ь].

Доказательство. Рассмотрим разность

Поскольку функция у = fix) непрерывна, она ограничена, т.е. Дх)| < < Со. Считая, что dt > 0, получаем df] < dt-Co, что свидетельствует о непрерывности функции F(t).

Теорема 23.2 (теорема Барроу). Пусть в условиях теоремы 23.1 функция у =Дх) непрерывна на [а, Ь. Тогда функция у = F(x) дифференцируема на [а, Ь и справедлива формула F'(x) -fix).

Доказательство. Рассмотрим приращение функции dF и применим к нему теорему о среднем, тогда получим, что dF =fi?))dx, где ?, принадлежит (хо, хо + dx).

Возьмем разностное отношение dF / dx =ДД) и устремим dx к нулю по некоторой последовательности значений. Тогда неминуемо <; —> хо. В силу непрерывности функции у = fix) предел разностного отношения будет равен Дхо). Теорема доказана.

Следствие. Всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную. Она определяется формулой (22.1).

Теорема 23.3 (теорема Ньютона—Лейбница). Пусть функция у = fix) непрерывна на отрезке [а, b] и пусть Ф(х) — какая-нибудь первообразная этой функции. Тогда

Доказательство. Мы знаем, что функция у =Дх) имеет, как минимум, одну первообразную F(x):

Очевидно, что Ф(х) = F(x) + С, где С—некоторая константа.

Имеем следующую цепочку:

Теорема 23.4 (вторая теорема о среднем). Пусть функция у =Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Пусть функция у — v(x) и ее производная у = v'(x) также непрерьюны на [а, b]. Если при этом v'(x) > 0, то существует такая точка х = ?, е (а, 6), что

Доказательство. Преобразуем исходный интеграл и возьмем его по частям:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >