Ковариация; дисперсия суммы

Пусть X и Y — две случайные величины, определенные на одном пространстве элементарных событий. Тогда X + Y и XY — тоже случайные величины, и их распределения могут быть найдены простой группировной членов совместного распределения X и Y. Наша цель состоит теперь в вычислении Var (X + Y).

Введем понятие ковариации.

Определение 40.7. Ковариация случайных величин X и Y определяется формулой

Cov(X, Y) = М[(§ - р(х)>(л - ±(у))] = М(?п) - |i(x)p(y). (40.16)

Это определение имеет смысл, если X и Y имеют конечные дисперсии.

Ранее мы получили, что для независимых случайных величин имеет место соотношение М<;г| - М^Мг). Тогда имеет место

Теорема 40.4. Если случайные величины X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

Замечание: обратное утверждение неверно.

Теорема 40.5. Если случайные величины Xi, Хг,..., Х„ имеют конечные дисперсии of, of, of, ..., of и S„=Xi + Х2+ ... + Х,„ то

В частности, если все случайные величины попарно независимы, то

Коэффициент корреляции

Определение 40.8. Пусть X и Y — две произвольные случайные величины со средними р(х) и р(у) и ненулевыми дисперсиями <з(х) и а(у).

Введем соответствующие нормированные случайные величины X и Y. Их ковариация называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y и обозначается r(X, Y) или г(х, у) или г(^, г|):

Ясно, что коэффициент корреляции не зависит от выбора начала координат и единиц измерения, т.е. для любых произвольных постоянных

а, Ь, с, d, где а, с > 0, имеем:

С физической точки зрения коэффициент корреляции можно рассматривать как безразмерную ковариацию.

Коэффициент корреляции отличен от нуля, если случайные величины зависимы. Обратное неверно! Возможны случаи, когда коэффициент корреляции равен нулю, а величины связаны детерминированной функциональной связью.

Теорема 40.6. Всегда |г(^, Г|)| < 1, причем |r(^, r|)| = 1 только тогда, когда существуют постоянные а и b такие, что справедливо равенство

Г| = а + b, за исключением, быть может, тех значений X, которые принимаются с нулевой вероятностью.

Неравенства Чебышева и Колмогорова

Теорема 40.7. Для произвольного t > 0 справедливо следующее неравенство, называемое неравенством Чебышева:

В частности, если математическое ожидание равно д, то

Теорема 40.8 (неравенство Колмогорова).

Пусть Xi, Хг, ..., Х„ — взаимно независимые случайные величины с математическими ожиданиями ц, и дисперсиями Ск- Положим

Для каждого t > 0 справедливо неравенство:

При п= 1 эта теорема сводится к неравенству Чебышева.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >