Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логистика arrow Методы управления ограниченными ресурсами в логистике

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

Рассмотренная задача (4.28)—(4.38) выбора предприятием видов и объемов выпускаемой продукций, как отмечалось выше, может быть решена известными точными или приближенными методами, изложенными, например, в [9].

При использовании полученного решения задачи лицо, принимающее решение (ЛПР), должно учесть неточность исходных данных модели, что приводит к необходимости дополнительного исследования влияния изменений в исходных данных на полученное решение.

Случайный закон, по которому происходят изменения в исходных данных задачи, чаще всего неизвестен, и в лучшем случае удается достаточно точно задать лишь диапазон изменения (доверительный интервал) того или иного входного параметра.

В данной ситуации должны быть исследованы изменения в оптимальной производственной программе при отклонении от первоначальных значений множества входных параметров, заданных вектором

где 0 — количество изменяющихся параметров. Эти исследования могут быть проведены по двум направлениям.

Первое из них связано с тем, что оценивается значение каждого параметра доверительным интервалом . Учитывая

целочисленность решений, задающих производственную программу, ставится задача разбиения параллелепипеда , на котором принимают значения изменяющиеся параметры, на конечное

число таких областей Вр, что и для всех точек каждой области сохраняется одно и то же оптимальное решение

задачи (4.28)—(4.38).

Второе направление исследований связано с вычислением максимально возможного уменьшения (увеличения) значения одного или группы входных параметров задачи (4.28)—(4.38), при котором либо остается неизменным вектор X, задающий решение задачи

(4.28) —(4.38), либо несущественно меняется значение (4.28) целевой функции оптимального варианта производственной программы. Этому направлению при исследовании устойчивости оптимальных решений посвящены работы [9, 14] .

В данной главе подробно будет представлено второе направление при условии, что изменяющимися параметрами являются следующие:

  • а) прогнозируемая рыночная цена выпускаемых изделий;
  • б) цена основных материалов, сырья, полуфабрикатов, комплектующих и других материальных ресурсов производства.

Рассмотрим влияние на решение задачи (4.28)—(4.38) изменения рыночных цен на выпускаемые изделия. Для анализа возможных изменений плана предприятия в зависимости от цены выпускаемых изделий введем следующие определения.

Определение 4.1. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по функционалу при изменении цены изделий, если существует такое в > 0, что при увеличении цены изделия не более чем на в значение функционала

(4.28) изменится не более чем на заданное 5.

Определение 4.2. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по решению при изменении цены изделий, если существует такое в > 0, что при увеличении цены изделий не более чем на в решение задачи сохраняется.

Из данных определений вытекает, что устойчивость исходной задачи по функционалу отражает незначительные изменения в функции результатов производственной деятельности предприятия при малых изменениях в ценах на выпускаемые изделия. При этом состав производственной программы в оптимальном варианте может значительно измениться по сравнению с первоначальным.

Устойчивость по решению характеризует стабильность производственной программы при локальном увеличении цен на планируемые к выпуску изделия.

Сформулируем достаточное условие устойчивости задачи (4.28)—

(4.38) по решению.

Утверждение 4.1. Достаточным условием устойчивости задачи

(4.28) —(4.38) по решению является единственность решения этой задачи.

Доказательство. Пусть решение задачи (4.28)—(4.38) единственно. Обозначим через Xх отличное от оптимального допустимое решение задачи, на котором реализуется минимум выражения ,

где F(Xom) — значение функционала (4.28) для оптимального плана; F{Xx)— значение функционала (4.28) для допустимого решения Xх. Обозначим

Рассмотрим К производственных программ, таких, что в ПП с номером к планируется выпуск только изделия к и объем выпуска этого изделия максимален при заданных ограничениях задачи

(4.28) —(4.38).

Обозначим соответствующие допустимые решения где

Выберем

Если в качестве е в определении устойчивости задачи по решению принять значение А/ЮС, то приращение функционала AF(X) для любого решения X при изменении исходных данных не более чем на А/ЮС может быть определено следующим образом:

Это, в частности, означает, что значение функционала (4.28) для любого решения X увеличится не более чем на А при увеличении цен изделий на А/КХ*, откуда следует устойчивость задачи (4.28)—(4.38) по решению.

Необходимое и достаточное условие устойчивости задачи (4.28)—

(4.38) по решению формулируется следующим образом.

Утверждение 4.2. Для того чтобы задача (4.28)—(4.38) была устойчивой по решению, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

существует такое ? > 0, что для всех 0 < г' < ? справедливо:

где F(Xe,) — значение функционала (4.28) для оптимального решения при ценах на изделия, задаваемых вектором Сг> = (С{ + г',..., Ск + ?'); F(X) — значение функционала (4.28) для оптимального решения при ценах на изделия, задаваемых вектором С.

Доказательство

Необходимость. Если исходная задача (4.28)—(4.38) устойчива по решению и существует такое ?, что при увеличении цен на изделия не более чем на ? оптимальное решение задачи сохраняется. Отсюда для любого г' < ? выполняется

Отсюда

Достаточность. Условие (4.41) обеспечивает оптимальность решения X исходной задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен изделий на любое 0 < г' < г, что по определению означает устойчивость решения задачи.

В реальной практике планирования производственной деятельности предприятия важно выделить такие производственные программы, которые оставались бы оптимальными или были близки к оптимальным при достаточно больших изменениях цен на выпускаемые изделия. Сформулируем необходимое условие сохранения решения задачи (4.28)—(4.38) при неограниченном увеличении цен на выпускаемые изделия.

Утверждение 4.3. Для того чтобы оптимальное решение задачи

(4.28)—(4.38) было устойчиво по решению при любом увеличении цен на выпускаемую продукцию, необходимо, чтобы оптимальное решение задачи (4.28)—(4.38) при исходных ценах обладало следующим свойством:

где — оптимальное, а — любое допустимое решение задачи.

Доказательство. Пусть решение X задачи (4.28)—(4.38) сохраняется при любом увеличении цен на выпускаемые изделия.

Следовательно, для любого ? > 0 выполняется соотношение

Предположим, что условие утверждения не выполняется, т.е. существует допустимое решение X* = *х,..., X*), при котором

Рассмотрим разность

Выберем так величину ?0, чтобы выполнялось неравенство

Тогда будет справедливо следующее неравенство:

где F(Xe ) — значение функционала (4.28) при ценах на изделия, заданных вектором на решении X = (Xv ...,

Xk); F(X^) — значение функционала (4.28) при ценах на изделия, задаваемых вектором С?. Последнее неравенство противоречит исходным условиям, что и доказывает утверждение.

Учитывая конечность множества допустимых производственных программ, что является, в частности, следствием ограниченности ресурсов всех видов, можно доказать следующее утверждение.

Утверждение 4.4. Пусть увеличение цен на планируемые к выпуску изделия происходит в интервале [0, °о). Тогда существует такое разбиение интервала [0, <*>) на конечное число отрезков [0, ?j), ..., ь, со), что для каждого отрезка (, ef+]) существует допустимое решение задачи (4.28)—(4.38), которое является оптимальным при изменении цен на изделия в интервале

, где Ск минимальная прогнозируемая цена на изделие к. Последнее утверждение позволяет получить верхнюю и нижнюю оценки интервала изменения цен на планируемую к выпуску продукцию и среди допустимых вариантов производственной программы выбрать такой, который является оптимальным при наиболее вероятном изменении цен.

Задача определения максимального увеличения цен на выпускаемые предприятием изделия, при котором значение функционала

(4.28) отклоняется не более чем на заданное 5, состоит в следующем:

где Р(Хг) — значение функционала (4.28) для решения задачи (4.28)—

  • (4.38) при ценах на изделия, задаваемых вектором Се = (Сх + г, ..., Ск + e)F(X) — значение функционала (4.28) для решения задачи
  • (4.28) —(4.38) при ценах на изделия, заданных вектором С = (С,, ...,

ск).

Для того чтобы определить максимальное увеличение цены на выпускаемые изделия, сохраняющее оптимальным первоначальное решение, необходимо решить следующую экстремальную задачу:

где Хг = (X?l, ..., X К) — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия, задаваемых вектором Се = { + е, ..., Ck + е); X — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия, задаваемых вектором С =

= (ср...,су.

В процессе реализации производственной программы могут изменяться не только цены на выпускаемую продукцию, но и уровень цен на материальные ресурсы производства, такие, как сырье, материалы, комплектующие, покупные полуфабрикаты и т.д.

Рассмотрим, как происходит изменение оптимальной производственной программы в выбранном варианте ПХД предприятия при изменении стоимости материальных ресурсов производства. Введем следующие определения.

Определение 4.3. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по функционалу при изменении цен на материальные ресурсы, включаемые в планируемые к выпуску изделия, если существует такое ?, что при увеличении цен на материальные ресурсы не более чем на е значение функционала (4.28) изменится не более чем на заданное 5.

Определение 4.4. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по решению при изменении цен на материальные ресурсы, если существует такое е > 0, что при увеличении цен на материальные ресурсы не более чем на ? оптимальное решение задачи (4.28)—(4.38) сохраняется.

Если задача (4.28)—(4.38) устойчива по решению при изменении цен на материальные ресурсы или устойчива по функционалу, то ЛПР интересует максимальное увеличение цены на материальные ресурсы, при котором задача устойчива по решению или функционалу.

Задача вычисления максимального увеличения цен на материальные ресурсы производства, при котором значение функционала

(4.28) изменится не более чем на заданное 8, состоит в следующем:

при ограничениях:

где F(X&) значение функционала (4.28) для решения задачи (4.28)—

(4.38) при ценах на материальные ресурсы, увеличенных на ?; F(X) — значение функционала (4.28) для решения задачи (4.28)—(4.38) при первоначальных ценах на материальные ресурсы.

Максимальное увеличение цен на материальные ресурсы, при котором сохраняется решение задачи (4.28)—(4.38), вычисляется при решении следующей экстремальной задачи:

где ХЕ = (Хг1,..., Хгк) — решение задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на материальные ресурсы на ?; X = (Xv ..., ХК) — решение задачи при первоначальных ценах на материальные ресурсы.

Рассмотрим проблему определения интервала устойчивости оптимального решения задачи (4.28)—(4.38) при одновременном изменении цен на выпускаемые изделия и на материальные ресурсы производства.

Введем аналогичные вышеприведенным определения.

Определение 4.5. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по функционалу при изменении цен на запланированные к выпуску изделия и на материальные ресурсы производства, если существует такое ? > 0, что при увеличении цен на изделия и на материальные ресурсы не более чем на в значение функционала (4.1) для оптимального решения задачи изменится не более чем на заданное 8.

Определение 4.6. Задача (4.28)—(4.38) устойчива по решению при изменении цен на запланированные к выпуску изделия и на материальные ресурсы производства, если существует такое в > О, что при увеличении цен на изделия и на материальные ресурсы не более чем на в оптимальное решение задачи сохраняется.

Рассмотрим задачу вычисления максимального г, такого, что при увеличении исходных данных на изделия и материальные ресурсы не более чем на в значение функционала (4.28) изменяется не более чем на заданное 8:

где (Х^ ) — значение функционала (4.1) для оптимального решения задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия и материальные ресурсы, увеличенных на e; F(X) — значение функционала (4.28) для оптимального решения задачи (4.28)—(4.38) при первоначальных (заложенных в модели) ценах.

Задача вычисления максимального увеличения цены на изделия и на материальные ресурсы производства, при котором сохраняется оптимальным решение задачи (4.28)—(4.38), заключается в следующем:

где — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на

изделия и материальные ресурсы, увеличенных на в за каждую единицу; — решение задачи (4.28)—(4.38) при первоначальных ценах на изделия и материальные ресурсы.

В рассмотренных постановках задач на вычисление интервала устойчивости оптимального решения задачи (4.28)—(4.38) предполагалось, что одновременно происходит изменение цен всей номенклатуры изделий, включенных в ПП, и (или) цен на все виды материальных ресурсов производства этих изделий.

Аналогично может быть поставлена задача вычисления интервала устойчивости решения исходной оптимизационной задачи при изменении цен только для некоторых видов изделий, включенных в

ПП, и (или) цен на определенные виды материальных ресурсов производства данной номенклатуры изделий или всех изделий производственной программы.

Рассмотрим алгоритм определения области устойчивости задачи

(4.28)—(4.38) по функционалу при изменении цен на материальные ресурсы производства. Постановка этой задачи задана формулами (4.48)—(4.49). Из формул (4.5)—(4.8) и соотношения (4.49) получаем, что ?, являющееся решением задачи (4.48)—(4.49), должно удовлетворять следующему неравенству:

откуда

Легко понять, что если в качестве е в решении задачи (4.48)—(4.49) взять правую часть неравенства (4.57), то для любого е' > г ограничение (4.49) выполняться не будет, т.е. е, заданное правой частью соотношения (4.57), будет решением задачи (4.48)-(4.49).

Устойчивость решения задачи (4.28)—(4.38) по функционалу может рассматриваться в более широком смысле, т.е. вычисляется такое максимальное е, на которое могут быть увеличены цены на материальные ресурсы так, чтобы среди всех допустимых программ ПХД предприятия существовала хотя бы одна, у которой значение целевой функции для этой программы с увеличением цен на материальные ресурсы отличалось от значения целевой функции для оптимальной производственной программы при исходных ценах не более чем на заданное 8.

Формальная постановка этой задачи заключается в следующем:

где X — множество всех допустимых программ производственно-хозяйственной деятельности предприятия. Докажем следующее утверждение.

Утверждение 4.5. Решение задачи (4.48)—(4.49) совпадает с решением задачи (4.48)—(4.50') в том случае, если для множества допустимых производственных программ справедливо соотношение

Доказательство утверждения следует из того, что при выполнении условия (4.58) при решении задачи (4.48)—(4.50) анализируется выполнение ограничения (4.49) только для решения X, и поэтому решение задачи (4.48)—(4.50) сводится к решению задачи (4.48)—(4.49), что и доказывает приводимое утверждение.

Рассмотрим решение задачи (4.48)—(4.50) в том случае, когда условие (4.58) не выполняется. В качестве начального приближения выберем е0, равное правой части неравенства (4.57). Если для всех Xj& X выполняется условие F(Xi?<)) < F(X?o), то е0 является решением (4.48)—(4.50). В противном случае существует такое Хр, что F(Xi?o)>F(X?o).

Полагаем 8 = F(Xp?g) > F(X?a). Вычисляем ер равное правой части неравенства (4.57), заменив в нем координаты вектора X на координаты вектора Хр. Учитывая конечность множества X и монотонное убывание функции F(XjE) по г для всех Xi е X, через конечное число итераций получим:

где — значения функционала (4.28) при

увеличении цен на материальные ресурсы на величин) для векторов Хр, Xj, задающих производственную программу предприятия.

Последнее неравенство свидетельствует о том, что при увеличении цены материальных ресурсов на величинузначение

функционала F(Xp?) не будет отличаться от значения функционала F(X) более чем на заданное 8 из условия (4.49) задачи (4.48)—(4.50) и

будет решением задачи (4.48)—(4.50).

Рассмотрим алгоритм определения области устойчивости по решению задачи (4.28)—(4.30).

Формулировка задачи отыскания максимального е, при увеличении стоимости материальных ресурсов на которое сохраняется решение X задачи (4.28)—(4.38), состоит в следующем:

где — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на

материальные ресурсы, увеличенные на е; — решение

задачи (4.28)—(4.38) при первоначальных ценах на материальные ресурсы.

Для решения задачи (4.58)—(4.60) возможны два подхода. Первый подход связан с тем, что исходные данные задачи (4.28)—(4.38) таковы, что число допустимых решений задачи (4.28)—(4.38) достаточно невелико и все они известны эксперту, принимающему решение об окончательном выборе варианта ПХД.

В этой ситуации решение задачи (4.58)—(4.60) определяется следующим образом. Пусть Х{,..., XL все допустимые решения задачи

(4.28) — (4.38). Обозначим множество допустимых решений через X. Пусть ХР е X является оптимальным решением задачи (4.28)—(4.38) ХР = Хрр ..., Хрк. Тогда ?*, являющееся решением задачи (4.58)—(4.60), определяется следующим образом:

где Xj G X — любое допустимое решение задачи (4.28)-(4.38).

В случае если число допустимых решений задачи (4.28)-(4.38) достаточно велико и не все допустимые решения известны, алгоритм решения задачи (4.58)—(4.60) следующий.

Шаг 1. Выбираем исходное значение е0 из соотношения

где Хр оптимальное решение задачи (4.28) — (4.38); Xt одно из известных допустимых решений задачи (4.28)—(4.38), удовлетворяющее условию

где X — множество допустимых решении задачи (4.28)—(4.38), полученных в результате определения оптимального варианта производственно-хозяйственной деятельности предприятия.

Шаг 2. Решаем задачу (4.28)—(4.38) при ценах на материальные ресурсы, увеличенных на выбранное значение гг

Если решение задачи (4.28)—(4.38) сохранилось, то вычисляем новое значение е по формуле (4.61), заменив Xр на оптимальное решение задачи при увеличенных ценах на материальные ресурсы, а Хь соответственно, на допустимое решение, ближайшее к Х'р по значению функционала (4.28) при увеличенных ценах на материальные ресурсы. Переход на начало шага 2.

Если решение задачи (4.28)—(4.38) изменилось при увеличении цен на материальные ресурсы, то вычисляется

где cenY — цены на материальные ресурсы с учетом их последнего повышения на гг, сеп.( — цены на материальные ресурсы до их повышения на гг Обозначим через 8 требуемую точность решения задачи (4.58)—(4.60).

Если d < 8, то в качестве решения задачи (4.58)—(4.60) выбираем Ег-, где L — число итераций алгоритма.

Если d > 8, то последнее значение г уменьшается вдвое и итерация повторяется с этого значения г. Сходимость описанного алгоритма следует из конечности всех допустимых решений задачи (4.28)—

(4.38).

Задача вычисления области устойчивости по функционалу при изменении цены изделий формулируется следующим образом:

при ограничениях:

где F(X?) — значение функционала (4.28) в оптимальном решении задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на выпускаемые изделия на величину е; F(X) — значение функционала (4.28) в решении задачи

(4.28)—(4.38) при исходных ценах на изделия, заданных вектором С= (С,,..., С±). Отметим, что решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия С = (Ср ..., Ск) и решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия С§ = (Cj + 8, Ск + е), вообще говоря, есть разные векторы X и X.

Рассмотрим составляющие целевого функционала F(X). Учитывая (4.1)—(4.2), представим F(X) следующим образом:

где первое слагаемое задает программу ПХД предприятия при ценах на изделия, заданных вектором С =р ..., Ск), и объеме выпуска изделий, задаваемом вектором X = (Хр ..., Хк); второе слагаемое задает полные затраты предприятия по выпуску изделий, заданных вектором X.

Учитывая, что при увеличении рыночной цены на выпускаемые изделия второе слагаемое остается неизменным, получим

Следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство (4.64), необходимо выполнение соотношения

Значение 8 находится по формуле

Рассмотрим решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия

Если решением задачи является тот же вектор X = (Xv ..., Xk), что и при ценах, заданных вектором С -р ..., Ск), то решением задачи (4.63)—(4.65) будет

Пусть решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия

задается вектором X1, таким, что существуетj, такое, что

Вычислим максимальное в, (е, < е):

Из последнего неравенства следует откуда

Если для цен на выпускаемые изделия, заданных вектором С = = (С, + ?,,..., Ск+ е,), вектор X есть решение задачи (4.28)—(4.38), то задача (4.63)—(4.65) решена и решением будет ер вычисленное по формуле (4.67). Если же решением задачи (4.28)—(4.38) при ценах С = (С, + 8р ..., Ск + 8,) является вектор X2, такой, что существует j, такое, что X2 = X., то проводим вычисление е2 аналогично тому, как было вычислено ег

Учитывая конечность всех допустимых решений задачи, (4.28)— (4.38) через ограниченное число итераций, получим, что решение задачи для цен на изделия, задаваемых вектором С = (С,,..., Ск), совпадает с решением для цен, задаваемых вектором С( = (Cj + е,, ..., Ск+ 8,), а г( является решением задачи (4.63)—(4.65).

Задача вычисления области устойчивости по решению при изменении цен на изделия состоит в следующем:

где — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на

изделия, задаваемых вектором

решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделия, задаваемых вектором С= (Ср ..., Ск).

Выше был получен следующий результат. Если X, являющийся решением задачи (4.28)—(4.38), таков, чтодля всех допустимых X1 решений задачи (4.28)—(4.38), то при сколь угодно большом увеличении цен на изделия вектор X = {,..., Хк) остается решением задачи (4.28)—(4.38).

Пусть существует у, такое, что для допустимого решения X' выполняется неравенство

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.68)—(4.70) в этом случае.

Если ЛПР получил в процессе исследования модели все допустимые решения X1 (?= 1, ..., L), для которых выполняется (4.71), то процедура определения решения задачи (4.68)—(4.70) эквивалентна решению следующей задачи:

Такое е находится из соотношения

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.28)—(4.38) для случая, когда у ЛПР нет информации о наличии всех допустимых решений задачи (4.28)—(4.38), удовлетворяющих условию (4.71).

Докажем следующее утверждение.

Утверждение 4.6. Пусть X* = (X*,..., Х*к) является решением задачи

  • (4.28)—(4.38) при ценах на изделия, заданных вектором Се = х + ер ..., Ск + е,) и ценах на изделия, заданных вектором C?j = (С, + е2, ..., Ск + е2). Тогда вектор X* = (X*,..., Х^) будет решением задачи (4.28)—
  • (4.38) при ценах на выпускаемую продукцию, заданных любым вектором при

Доказательство.

Доказательство от противного. Пусть для ?j < 8 < г2 существует вектор X', такой, что F(X') > F(X) при ценах на изделия, заданных вектором С= (Сj + 8,..., Ск + г).

Это, в частности, означает, что

Следовательно, учитывая условия утверждения,

Увеличим стоимость выпускаемой продукции на величину е2 - - 8 > 0. Тогда с учетом (4.72)—(4.72') получим

В то же время по условию утверждения

где X — множество допустимых решений задачи (4.28)—(4.38).

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Утверждение 4.6 позволяет организовать следующий численный алгоритм решения задачи (4.68)—(4.70).

Шаг 0. Определение вектора X = (XV ..., ХК), являющегося решением задачи (4.28)—(4.38) при ценах на изделие, заданных вектором С = (С,, ..., СК). Выбрать Де повышения цен на выпускаемую продукцию. Положить 8 = 0.

Шаг 1. Найти решение задачи (4.28)—(4.38), приняв цены на изделия

Если полученное решение X' = ,..., Х'К) таково, что Хк = Х'к для всех к = 1,..., К, то переходим к шагу 1.

Если существует /, такое, что Х'К Ф Хр то выясняем, выполняется ли неравенство

где 6 — требуемая точность решения задачи (4.68)—(4.70). Если неравенство (4.73) выполняется, то задача (4.68)—(4.70) решена, ее решением будет последнее значение 8, при увеличении цен на которое решалась задача (4.28)—(4.38).

Если неравенство (4.73) не выполняется, то, положив Аг = Аг/2, переходим к шагу 1.

Задача вычисления области устойчивости по функционалу при изменении цен на изделия и на материальные ресурсы формулируется следующим образом:

где F(Xe) — значение функционала (4.28) при увеличении цен на ? на ресурсы и изделия, если в качестве решения выбрать вектор X, являющийся оптимальным решением задачи (4.28)—(4.38); F(X) — значение функционала (4.28) в оптимальном решении задачи (4.28)—

(4.38) при исходных ценах на изделия и материальные ресурсы.

Рассмотрим численный алгоритм решения задачи (4.74)—(4.76). Учитывая формулы (4.5)—(4.7), а также формулу (4.57), получим, что при увеличении цен на материальные ресурсы производства на ? значение функционала (4.28) уменьшится на величину

Из формулы (4.2) следует, что при увеличении цен на изделия на ? значение функционала (4.1) увеличится на величину

Учитывая формулы (4.77)—(4.78), получим, что при изменении цен на изделия и на материальные ресурсы производства на ? значение функционала (4.1) изменится на величину

Следовательно ?, являющееся решением задачи (4.74)—(4.76), вычисляется по следующей формуле:

Рассмотрим постановку задачи вычисления области устойчивости задачи (4.28)—(4.38) при изменении цен на материальные ресурсы производства и на выпускаемую продукцию. Формальная постановка этой задачи заключается в следующем:

где F(Xe) — значения функционала (4.1) в оптимальном решении задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на изделия и материальные ресурсы на е; F(X) — значение функционала (4.28) в оптимальном решении задачи (4.28)—(4.38) при исходных ценах на материальные ресурсы и изделия.

Рассмотрим решение задачи (4.80)—(4.82) при увеличении цен на изделия и материальные ресурсы на величину е, которая вычисляется по формуле (4.79).

Если решением задачи (4.28)—(4.38) будет вектор X, являющийся оптимальным при исходных ценах на материальные ресурсы и изделия, то задача (4.80)—(4.82) решена, ее решение задается формулой (4.79).

Если решением задачи (4.28)—(4.38) при увеличении_цен на материальные ресурсы и на изделия на е является вектор Х{, такой, что существует X' Ф Xj, то вычислим максимальное 8j (е, < е), для которого выполняется

откуда

Если при увеличениицен на изделия и материальные ресурсы на ?j сохраняется решение X задачи (4.28)—(4.38), то задача (4.80)-(4.82) решена. В противном случае, если решением задачи будет вектор X2, для которого существует t, такое, что Xj Ф Х(, то вычисляем е2 по формуле (4.77), заменив в ней координаты вектора Xх на координаты вектора X2. Учитывая ограниченность множества допустимых решений задачи (4.28)—(4.38), через конечное число итераций получим, что решение задачи (4.28)—(4.38) для исходных цен на изделия и материальные ресурсы совпадает с решением задачи при увеличении цен на изделия и материальные ресурсы на ( < ге_{ < < ... < ?j). Последнее значение ? будет решением задачи (4.80)— (4.82).

Задача вычисления максимального увеличения цены на изделия и материальные ресурсы производства, при котором сохраняется решение задачи (4.28)—(4.38), заключается в следующем:

где — решение задачи (4.28)—(4.38) при ценах на

материальные ресурсы и изделия, увеличенных на ? по сравнению с первоначальными; Х= (Х{,..., Хк) — решение задачи (4.28)—(4.38) при первоначальных ценах на изделия и материальные ресурсы производства.

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.84)—(4.86) для случая, когда ЛПР известны все допустимые решения задачи (4.28)—(4.38). В этом случае решение задачи (4.84)—(4.86) находится исходя из соотношения

Здесь X — множество всех допустимых решений задачи (4.28)—

(4.38).

Рассмотрим алгоритм решения задачи (4.84)—(4.86), в том числе когда ЛПР неизвестны все допустимые решения задачи (4.28)—(4.38).

Докажем следующее утверждение.

Утверждение 4.7. Пусть X является решением задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на изделия и материальные ресурсы на и г2 (?j < ?2). Тогда X будет решением задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на любое число интервала

Доказательство. Предположим, что утверждение неверно.

Пусть X такое, что F(Xe) < F(Xe) для некоторого г из интервала

Обозначим F(Xt), F(Х^) — значение функционала (4.1) задачи (4.28)—(4.38) при увеличении цен на изделия и материальные ресурсы производства на величину и е2 соответственно.

Учитывая, что F(XZ ) > F(X* ), получим, исходя из (4.87),

Умножив обе части последнего неравенства на число получим

Следовательно,

Перенеся в последнем неравенстве правую часть влево, получим

что противоречит условию утверждения. Следовательно, исходная посылка была неверна и утверждение доказано.

Доказанное утверждение позволяет организовать численный алгоритм решения задачи (4.84)—(4.86).

Шаг 0. Определение решения задачи (4.28)—(4.38), которым является вектор X = (Х{к) при исходных ценах на продукцию и на материальные ресурсы производства.

Выбрать Ае, на которое будут повышаться цены на продукцию и материальные ресурсы производства. Положить г = 0.

Шаг 1. Решить задачу (4.28)—(4.38), приняв цены на изделия и материальные ресурсы производства увеличенными на величину Е = Е + Ае.

Если полученное решение X' задачи (4.28)—(4.38) такое, что Х'К= = XK(k= 1,..., К), то перейти на начало шага 1.

Если вектор X' таков, что существует ?, для которого X' = Хр то выяснить, верно ли неравенство

где 5 — требуемая точность решения задачи (4.84)—(4.86).

Если неравенство (4.88) выполняется, то задача (4.84)—(4.86) решена, ее решением будет ?, при увеличении цен на которое последний раз решалась задача (4.28)—(4.38). Если неравенство (4.88)

не выполняется, то, положив Ае = —, перейти на начало шага 1.

Представленные в этой главе методы определения диапазона изменения цен на выпускаемую предприятием продукцию были использованы при расчете оптимальной производственной программы завода «Красный пролетарий».

В результате численных экспериментов установлено, что максимальное изменение цен на выпускаемые изделия, при котором сохраняется производственная программа на продукцию, не превышает 10—15% от начальной цены.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы