ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ ПРЕКРАЩЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ МЕТРОПОЛИТЕНА

В этом параграфе будет рассмотрена задача перераспределения автобусов, обслуживающих прилежащие к сбойному участку метрополитена городские автобусные маршруты, для перевозки пассажиров на участке метрополитена, который временно перекрыт. В специальной литературе [24] ситуация временного перекрытия участка радиуса метрополитена называется сбоем, а сам участок — сбойным.

В существующей технологии организации ликвидации сбоев на метрополитене общегородской диспетчерский центр (ОГДЦ) в зависимости оттого, на каком участке произошел сбой, перераспределяет часть автобусов с маршрутов, прилежащих к сбойному радиусу метрополитена, для организации дополнительного маршрута, на котором осуществляется перевозка пассажиров, поступающих на станции сбойного участка метрополитена.

Выделяя автобусы, диспетчер, как правило, не может достаточно полно учесть и использовать информацию о продолжительности сбоя, моменте начала сбоя, интенсивности пассажиропотоков, количестве автобусов на маршрутах, что не позволяет ему ликвидировать сбой, минимизируя дополнительные потери времени пассажиров на передвижение в транспорте и ожидание транспортного обслуживания.

Ниже приводится математическая модель сбойной ситуации на метрополитене и ставится задача выбора наиболее эффективного варианта выделения автобусов для ее ликвидации.

Введем следующие обозначения:

СЛ.(/) — интенсивность поступления пассажиров на станцию метро /, следующих до станции метро j (i=p,..., д);

р, q — начальная и конечная станции на участке метрополитена, где произошел сбой;

U^M) — интенсивность поступления пассажиров на автобусном маршруте I на остановку ос, следующих до остановки (3 (? = 1,т а= 1,р* а),

где т — число маршрутов автобусов, с которых снимают транспортные единицы во время сбоя; т( — число остановок на маршруте L

Рассмотрим ситуацию сбоя на линии метрополитена на временном интервале [/р t2.

При бессбойной работе метрополитена интенсивность перевозки пассажиров с /-й станции метро определяется из следующего соотношения:

где L — число поездов, проходящих через участок метрополитена; V^t) — очередь пассажиров на станции метро в момент времени t, определяется из уравнения, приведенного в [24]:

решение которого записывается в виде:

Здесь

количество свободных мест в электропоезде, прибывшем на станцию i в момент времени tjt, вычисляемое по следующей формуле:

где V*i{t() — объем пассажиров на станции I в момент прибытия поезда у на эту станцию, маршрут которых заканчивается за станцией ?;

Vf(tjf) — объем пассажиров на станции ? в момент прибытия поезда j на станцию ?;W— вместимость электропоезда; L — число поездов, проходящих на сбойном участке за время сбоя [tv t2 (6.8).

Обозначим время ожидания пассажиров, обслуживаемых в момент t на станции i при работе метрополитена в обычном режиме, через Tft).

Вычисляется Г.(0 из следующего соотношения:

Если на интервале [?р /2] произошел сбой в работе метрополитена, то частично функции по перевозке пассажиров в метрополитене будут перенесены на маршруты наземного транспорта, проходящего вблизи сбойного участка метрополитена. Учитывая ограниченные возможности городского транспорта по обслуживанию дополнительного потока пассажиров в час пик, будет, очевидно, выполняться следующее соотношение:

где q?b(t) — интенсивность перевозок наземным транспортом в сбойной ситуации пассажиропотока, который в штатной ситуации обслуживает метрополитен.

Необходимо отметить, что определение q“b(t) представляет собой самостоятельную задачу и зависит от того, насколько загружены наземные транспортные средства, дублирующие маршрут метро на сбойном участке.

Учитывая (6.8), (6.10), а также увеличение интенсивности пассажиропотока на конечных станциях сбойного участка метрополитена, получим:

Здесь

где U^{t) = 0 на всех станциях сбойного участка метро, кроме конечных, а на конечных он соответствует интенсивности провоза пассажиров через станцию в ситуации безотказной работы метрополитена.

Время ожидания пассажиров, поступивших в момент t на станцию i в сбойной ситуации T?b(t), вычисляется из соотношения

В приведенных выше обозначениях дополнительные потери времени пассажиров, перевозимых на сбойном радиусе метро, составят

Здесь Д(/р /2) — дополнительное время на перевозку пассажиров со станции / из-за возникшего сбоя, вычисляется из соотношения

где а,. — коэффициент уменьшения объема перевозки пассажиров со сбойного участка за счет того, что в сбойной ситуации часть пассажиров изменит маршрут следования. На практике а;. принимает значение в зависимости от времени суток от 0,5 до 0,8.

Величина W0 из соотношения (6.11) есть дополнительные потери времени пассажиров, перевозимых метрополитеном при наличии сбоя на участке со станции Р до станции q, при условиях, что на участок сбоя не будут выделены дополнительные транспортные средства для дублирования сбойного участка метрополитена.

В практической деятельности, как указывалось выше, чтобы уменьшить величину потерь времени пассажиров на транспортное обслуживание во время сбоя метрополитена, диспетчер выделяет автобусы с прилежащих к данному сбойному радиусу метро маршрутов. В условиях отсутствия оперативной информации об интенсивности пассажиропотоков, длительности сбоя, количестве автобусов на каждом маршруте диспетчер выделяет автобусы, исходя из накопленного в прошлом опыта о подобных сбойных ситуациях и принятых мерах для их ликвидации (расчет необходимого количества автобусов осуществляется по эмпирическим формулам).

Используя введенные выше обозначения, задача минимизации суммарных транспортных потерь может быть сформулирована следующим образом.

Пусть для ликвидации сбоя на метрополитене могут быть использованы автобусы т прилегающих к сбойному радиусу маршрутов. Количество автобусов, обслуживающих каждый маршрут, задается вектором а = av ..., ат, где я. — число автобусов на маршруте i = 1,

Учитывая, что интенсивность поступления пассажиров на остановку а, следующих до остановки |3 маршрута ?, задается величиной

, получим интенсивность

поступления пассажиров на остановку а маршрута t.

Производительность q(a(t), с которой обслуживаются пассажиры на остановке ос маршрута ?, определяется по формуле, аналогичной (6.8).

Время ожидания Tea(t) пассажиров, обслуживаемых в момент t на остановке ос маршрута ?, вычисляется из соотношения

Учитывая, что при увеличении числа автобусов на маршруте и сохранении равенства временных интервалов между прибытием автобусов на остановки при одних и тех же интенсивностях поступления пассажиров на остановки, получим следующее соотношение:

где Ь Ь2 число автобусов на маршруте L

Поэтому при уменьшении числа автобусов на маршруте ? с af до Ь( дополнительные потери на ожидание автобусов составят величину, вычисляемую из следующего выражения:

где Aa(bf) — дополнительное время для транспортировки пассажиров с остановки ос, связанное с уменьшением числа автобусов с ае до Ьг

Таким образом, задачу минимизации дополнительных потерь времени пассажиров на транспортное обслуживание в условиях сбоя на метрополитене можно сформулировать следующим образом.

Для ликвидации сбоя необходимо на каждом автобусном маршруте I (? = 1, ..., т) оставить Ь( автобусов ( < а(), а ае - Ь( автобусов переправить на дополнительный автобусный маршрут, дублирующий сбойный участок метрополитена, для перевозки пассажиров. При этом необходимо минимизировать функционал

где AT — момент окончания перевозки пассажиров на автобусных маршрутах; Т.(а - b,t) — время ожидания пассажиров на станции j в момент t при условии, что для дублирования метрополитена на сбойном радиусе выделены автобусы, заданные вектором а - b = = (а{ - bv ..., am - bm); qj{a - b,t) — производительность обслуживания пассажиров на станции j при выделенном числе автобусов, заданных вектором а - Ь; В — множество всех вариантов перераспределения автобусов по маршрутам.

Ограничения на объем перевезенных пассажиров на маршруте, дублирующем сбойный участок метрополитена, таковы:

т.е. объем пассажиров, перевезенных с каждой станции метро в сбойной ситуации и в случае отсутствия сбоя, должен сохраниться.

Ограничения на число автобусов, перераспределяемых с автобусных маршрутов на дополнительный маршрут, имеют вид

т.е. на каждом автобусном маршруте должен быть оставлен хотя бы один автобус.

Учитывая, что в соотношении (6.12) слагаемые и

являются постоянными, минимизация целевого

функционала (6.12) эквивалентна минимизации следующего функционала:

Задача (6.12)—(6.14) является задачей дискретной оптимизации с нелинейным целевым функционалом. Для решения этой задачи разработай алгоритм типа метода ветвей и границ, заключающийся в следующем.

Шаг 1. Получение допустимого решения (вычисление «рекорда»). На этом этапе выбирается некоторое допустимое с точки зрения ограничений (6.13)—(6.14) перераспределение автобусов по маршрутам и вычисляется значение целевого функционала (6.15) для выбранного варианта перераспределения транспортных средств. Это значение функционала (6.15) в дальнейшем будем называть «рекордом».

Шаг 2. Вычисление нижней оценки для нового решения для любого момента t' е [t{, АТ]. Нижняя оценка любого допустимого решения для любого момента t' е [tv Д7] может быть вычислена по следующей формуле:

В формуле (6.16) первое слагаемое задает реальные потери времени пассажиров на ожидание, перевезенных к моменту времени t', если количество автобусов, оставленных на автобусных маршрутах, задано вектором Второе и третье слагаемые дают

нижнюю оценку потерь времени пассажиров на ожидание на дополнительном маршруте и автобусных маршрутах для объема пассажиров, который необходимо перевезти за период времени начиная с момента t' до окончания времени перевозки пассажиров при условии неограниченной вместимости транспортных средств. Уточнение нижней оценки по формуле (6.16) производится через интервалы времени, кратные периоду следования автобусов на дополнительном маршруте, дублирующем перевозку пассажиров на сбойном участке метрополитена, и сравниваются с рекордом, пока не будет получена одна из альтернатив.

У полученного решения значение целевого функционала ниже, чем у рекорда. В этом случае новое решение назначается рекордом, и если не все варианты перераспределения исследованы, то переходим к пункту 2. Если все варианты перераспределения автобусов исследованы, то последнее допустимое решение является решением задачи (6.13)—(6.15).

Нижняя оценка конструируемого решения оказалась выше, чем у рекорда, для момента времени t* е [tv АТ]. В этом случае выбранный вариант перераспределения хуже, чем вариант, соответствующий рекорду. Выбирается новый вариант перераспределения транспортных средств. Переход к шагу 2.

Необходимо отметить, что представленный комбинаторный алгоритм не всегда приемлем при моделировании возникающих на практике сбоев в работе метрополитена из-за большой размерности задачи, когда длительность сбоя превышает несколько часов, а перечень автобусных маршрутов, с которых автобусы привлекаются на сбойный участок, составляет многие десятки.

В этой ситуации целесообразно использовать различные эвристические методы получения приближенных решений, предлагаемые, например, в [18].

Еще одной проблемой выработки управляющего решения в сбойной ситуации является то, что реальные условия, в которых осуществляется перераспределение транспортных средств в сбойной ситуации, часто таковы, что многие исходное данные в силу ряда объективных причин носят приближенный характер.

Такими данными, в частности, являются: интенсивности пассажиропотоков; продолжительность сбоя; перечень станций, входящих в сбойный участок метрополитена; количество автобусов на маршрутах, с которых выделяются транспортные единицы на дополнительный маршрут.

Неточность исходных данных приводит к необходимости исследования влияния изменения входной информации на решение задачи (6.12)—(6.14). Ниже исследуется влияние на решение задачи малого изменения интенсивностей пассажиропотоков, поступающих на станции сбойного участка метрополитена.

Для оценки этого влияния на решение задачи (6.12)—(6.14) введем следующие определения.

Задача (6.12)—(6.14) называется устойчивой по решению, если существует такое ? > 0, что при изменении интенсивностей пассажиропотоков в окрестности ?/.(/) + е в оптимальном решении сохранятся вектор b и количество рейсов, которое должен осуществить каждый автобус на дополнительном маршруте.

Задача (6.12)—(6.14) устойчива по структуре решения, если существует такое ? > 0, что при изменении интенсивностей пассажиропотоков в окрестности ?/.(/) + ? в оптимальном решении сохраняется вектор Ь.

Очевидно, что из устойчивости по решению следует структурная устойчивость. Ниже будет исследоваться структурная устойчивость решения задачи (6.12)—(6.14) при изменении интенсивностей пассажиропотоков.

Вычислим максимальную величину ?, на которую могут быть увеличены интенсивности поступления пассажиропотоков на станции сбойного участка метрополитена, оставив без изменения вектор а-Ьх, задающий множество автобусов на дополнительный маршрут в решении задачи (6.12)—(6.14). Для этого необходимо решить следующую задачу нелинейной оптимизации:

Здесь W{bx?) — значение функционала (6.15) при интенсивностях пассажиропотоков на станциях метрополитена, заданных функциями Uj(t) + e,j = Р,..., q.

Учитывая, что для каждого ? е [0, °°) существует оптимальное перераспределение транспортных средств при интенсивностях пассажиропотоков Up) + е на станции сбойного участка метрополитена, может быть сформулировано следующее утверждение.

При увеличении интенсивности поступления пассажиропотоков Uj(t) + ? при ? е [0, °°) полубесконечный интервал [0, °°) может быть разбит на конечное число подынтервалов, на каждом из которых сохраняется один и тот же вектор ае(, I- 1, К, выделенных автобусов на дополнительный маршрут, оптимизирующий функционал (6.12).

При решении задачи (6.17)—(6.19) возможно получение одного из результатов: ? = 0; ? = С (0 < С < °°); ? =

Рассмотрим достаточные и необходимые условия получения перечисленных выше значений ?.

Учитывая монотонное возрастание функционала W(b,e), b е В при возрастании ?, может быть доказано, что достаточным условием того, что ? > 0 в решении задачи (6.17)—(6.19) является единственность решения задачи (6.12)—(6.14). Поэтому необходимым условием того, чтобы ? = 0 при решении задачи (6.17)—(6.19), является неединственность решения задачи (6.12)—(6.14).

Необходимым условием для ? =_<*> в решении задачи (6.17)—(6.19) является выполнение равенства bx = (1, ...,1), где — вектор, задающий перераспределение автобусов в решении задачи (6.12)—(6.14).

Рассмотрим ситуацию, когда для заданных входных параметров задачи существует два оптимальных решения Ьх и Ь2. Исследуем приращение функционала (6.12) при увеличении интенсивностей пассажиропотоков на малое е для решения Ьх:

где 02 — это множество остановок / маршрута ?, на которых автобус j обслужил не всех пассажиров, находящихся на остановке; О, — множество остановок / маршрута ?, на которых рейс автобуса j обслужил всех пассажиров, находящихся на остановке; / = — ближайшая предшествующая остановке i остановка, на которой транспортное средство обслужило всех пассажиров; j = К2 номер ближайшего после у'-го рейса, которым обслуживаются все пассажиры на /-й остановке; At(j — время ожидания у'-го рейса транспортного средства на остановке /; а»Д/„е — дополнительный объем пассажиров, которые были обслужены при увеличении интенсивностей пассажиропотоков на е и выход которых из транспортного средства осуществляется за остановкой /.

Исходя из формулы (6.20), получим, 4jo если есть два оптимальных решения, задаваемых векторами Ьх и Ь2, то задача (6.12)- (6.14) устойчива по решению Ьх в том случае, если существует такое е', что выполняется неравенство

для всех 0 < ? < г'.

Следующие два утверждения характеризуют диапазон изменения структуры оптимального решения в зависимости от интенсивностей пассажиропотоков и длительности сбоя.

Утверждение 6.1. Если интенсивности пассажиропотоков на автобусные маршруты таковы, что все пассажиры на каждом маршруте могут быть перевезены одним автобусом в течение суточного интервала времени перевозки пассажиров, то число выделенных на дополнительный маршрут автобусов в оптимальном решении при достаточно малых пассажиропотоках на сбойном участке будет при возрастании пассажиропотоков на сбойном участке метрополитена меняться от 0 до п-т.

Доказательство. Учитывая ограниченность потерь на автобусных маршрутах, при достаточно большой интенсивности пассажиропотоков, поступающих на станции сбойного участка метрополитена, получим следующее неравенство:

где — моменты окончания перевозки пассажиров на

сбойном участке при выделении на дополнительный маршрут соответственно К и К + 1 автобусов; q.(j, t) — интенсивность перевозки пассажиров на /-й станции метрополитена при выделении на дополнительный маршрут j автобусов (j = К, К + 1); С — любое положительное число.

Из неравенства (6.20) следует утверждение 6.1.

Аналогично может быть доказано следующее утверждение.

Утверждение 6.2. Существуют такие интенсивности пассажиропотоков на станциях сбойного участка метрополитена и остановках автобусных маршрутов, с которых перераспределяются автобусы на дополнительный маршрут, что количество выделенных автобусов на дополнительный маршрут меняется от 0 до (L - т) при возрастании длительности сбоя.

Рассмотренные алгоритмы были использованы при моделировании сбойной ситуации на участке метрополитена, состоящего из четырех станций. Продолжительность сбоя составляла один час. Для дублирования перевозки на этом участке привлекались автобусы с десяти прилежащих маршрутов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >