РЕШЕНИЕ НА СТАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МОДЕЛИ С ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ ИЗ ДВУХ КОМПОНЕНТ

При решении во втором варианте целевой функцией является вектор, состоящий в общем виде из трех компонент: ). К вышерассмотренным компонентам добавляется компонента р — общая стоимость затрат на перепрофилирование, которую, очевидно, требуется минимизировать:

Решение на общей статической модели с такой целевой функцией представляет собой сложную задачу. Сложность заключается в противоречивости максимизации компонент а и d. Поэтому сначала рассмотрим вариант решения с целевой функцией из двух компонент а и р, а общий вариант рассмотрим в параграфе 2.10.

Рассматривая целевую функцию с двумя первыми компонентами = (а, р), где а -»max, р -> min, положим, что переменные, входящие в состав компоненты d, принимаются равными их минимальным значениям. Для решения этой задачи требуется определить множество эффективных решений (множество Парето или Слейтера). Анализ такой задачи показывает, что эти множества в данном случае вырождаются в точку, поскольку критерии аир функционально связаны между собой. Их можно заменить одним критерием в виде функциональной зависимости а от р: (р = (а, р) или обратной ей функцией f = р(а).

Действительно, если р = о, то перепрофилирование производственных линий не производится. Остается найти вид функций (р = (а,р) или (и) f = р(а). Это будет сделано в одном из следующих параграфов, а сейчас сформулируем алгоритм решения исходя из содержательного смысла.

Общую статическую оптимизационную модель (1)—(16) (см. параграф 2.2) с целевой функцией <р = (а,р) или f = р(а) можно разделить на две взаимосвязанные модели.

Первая модель включает уравнения и ограничения системы (1)- (16) за исключением уравнений и ограничений (9)-(11), которые описывают перепрофилирование производственных линий, с однокритериальной целевой функцией а —> max. В ограничении (8) принимается, что Ас = 0 ?> поскольку строительство новых производственных линий не рассматривается.

Для упрощения этой модели уравнения и ограничения, связанные с внешней торговлей, исключим — они будут рассматриваться при решении с целевой функцией из трех компонент в параграфе 2.10.

Уравнение (3) и ограничение (16) общей модели (1)—(16), выражающие количество занятых работников на предприятиях, которое определяются в динамической модели, также опустим. В статической оптимизационной модели нет необходимости учитывать это уравнение в связи с тем, что результат решения на этой модели представляет собой конечную точку по времени инвестиционного периода. Кроме того, положим значения векторов у и г равными их граничным значениям у и г, определенным неравенствами (12)—(13) задачи (1)—(16). Тогда первую однокритериальную модель в векторно-матричной форме можно записать так:

В данной модели требуется определить максимальный общий объем производства конечной продукции как цели проекта, определяемый величиной а при условиях и ограничениях (2.17)^(2.24).

Вторая модель включает уравнения и ограничения (8)—(11) из системы (1)—(16), которые описывают перепрофилирование производственных мощностей с однокритериальной целевой функцией р ->min.

Эти модели взаимно связаны — выпуск конечной продукции в первой модели увеличивается за счет прироста мощностей Ар при перепрофилировании производственных линий. Если Ар = 0, то перепрофилирование отсутствует и тогда во второй модели р = 0 ? Увеличение вектора Ар означает выполнение перепрофилирования и, соответственно, увеличение выпуска конечной продукции а. Но такое увеличение не безгранично, оно завершается тогда, когда все мощности производственных линий-доноров перепрофилированы в производственные линии-реципиенты и одновременно не остается требуемых линий-реципиентов, которые могли увеличить свои мощности за счет перепрофилирования линий-доноров.

Исходя из этой логики, совместное решение на двух моделях может быть получено методом последовательных приближений. Для этого сначала задаем начальное приближение общего объема производства конечной продукции.

Обозначим этот объем aQ и примем его равным значению, полученному при решении задачи (2.17)-(2.25) с ограничением х<р, т.е. при Ар = 0. Алгоритм этого решения разработан в параграфе 2.6. Затем подставляем вектор y = qa в уравнение (2.17) и получаем значение вектора валовых выпусков всех предприятий, обозначаемое xQ,

необходимое для обеспечения объема производства конечной продукции в заданных пропорциях в размере, равном первому приближению aQ.

Затем находим разность между вектором производственных мощностей р из задачи (2.17)-(2.25) и вектором xQ. Обозначим эту разность Axq = p-xQ.

Положительные компоненты этого вектора представляют собой избыточные производственные мощности предприятий, которые могут быть использованы для их перепрофилирования под производственные мощности предприятий, выпуск которых недостаточен. Эти предприятия и недостающие размеры их производственных мощностей, которые требуются для обеспечения производства конечной продукции как цели проекта в объеме aQ, определяются отрицательными компонентами вектора AxQ.

Обозначим Axq вектор размерности N, образованный из отрицательных компонент вектора AxQ, а остальные компоненты этого вектора равняются нулю. Обозначим вектор АХд размерности N, образованный из положительных компонент вектора AxQ, а остальные его компоненты равны нулю. Полагаем векторы Ар+ и Ар~ равными соответственно векторам AXq и Axq .

Далее решаем задачу (2.26)-(2.29) определения оптимальной структуры перепрофилирования избыточных производственных мощностей, определяемых вектором Ар+, в недостающие производственные мощности предприятий, определяемых вектором Ар~ • Результатом решения этой задачи является определение элементов матрицы АР, которые показывают мощности недогруженных производственных линий — линии-доноры, которые целесообразно перепрофилировать под производственные линии-реципиенты, требуемые для реализации заданного производственного проекта с наименьшими затратами на процесс перепрофилирования.

Такое оптимальное перепрофилирование осуществляется в каждой точке движения величины а. Естественно, что при этом элементы матрицы АР различаются для каждого значения величины а • Но эти элементы всегда отражают оптимальное перепрофилирование по критерию минимума затрат — величины р. Задача теперь состоит в том, чтобы найти такую точку а, в которой мощности линий доноров были бы, хотя бы и приблизительно, равны мощностям линий-реципиентов.

Для этого организуется следующий итерационный процесс. Если в результате решения этой задачи устанавливается, что не все мощности линий-доноров использованы для перепрофилирования в линии- реципиенты, то общий объем производства конечной продукции как цели проекта может быть увеличен за счет дальнейшего перепрофилирования линий-доноров. При этом предположим, что ограничения

(2.23)-(2.24) сняты. В дальнейшем покажем, как эти ограничения учесть.

Увеличиваем на один шаг значение величины а и повторим все расчеты. Такое увеличение а будем продолжать до тех пор, пока все производственные линии-доноры не будут использованы для перепрофилирования. Этот момент характеризуется тем, что уже не будет выполняться ограничение (2.27) второй модели. Это означает, что оптимальная точка величины а пройдена. Для более точного решения необходимо возвратиться назад по величине а с уменьшенным шагом, опять перейти оптимальную точку величины а с другой стороны и дойти до точки, где ограничение (2.27) будет выполняться. Далее следует повторять этот цикл для получения требуемой точности решения.

Как упоминалось выше, в ходе итераций необходимо проверять выполнение ограничений модели (2.17)-(2.25). Если хотя бы одно из этих ограничений не выполняется, то это означает, что оптимальная точка пройдена. Далее остается, как и в описанном выше итерационном процессе, найти оптимальную точку с требуемой точностью.

Изложенный итеративный алгоритм совместного решения на двух моделях является сходящимся процессом. Его сходимость определяется тем, что значение шага Да при прямом и обратном движении величины а с пересечением оптимальной точки стремится к нулю, а функция (р = (а,р) имеет один экстремум. Более точное доказательство этого будет дано в параграфе 2.9, где исследуется вид функциональной связи величин аир.

В описанном итерационном процессе требуется решать однокритериальные задачи линейного программирования. В принципе это можно сделать на основе стандартных пакетов программ. При разработке предлагаемого комплекса математических моделей была поставлена цель свести к минимуму использование внешних пакетов программ.

Для первой из рассматриваемых моделей благодаря тому, что целевой функцией является скаляр а, удается получить решение в аналитическом виде, которое изложено в параграфе 2.6. Решение на второй модели целесообразно получить с использованием «венгерского» метода решения задач линейного программирования посредством преобразования постановки этой модели.

Кроме векторов Др+ и Др~, для решения задачи (2.26)-(2.29) необходимо предварительно вычислять значения двух матриц — матрицы коэффициентов перепрофилирования X и матрицы удельных затрат на проведение перепрофилирования с • Алгоритм расчета этих матриц приведен в параграфе 2.8.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >