СТОХАСТИЧЕСКИЕ СТАТИЧЕСКИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Рассмотрим статическую оптимизационную однокритериальную модель в сокращенной постановке, аналогичную общей статической оптимизационной модели главы 2. Из общей модели исключены соотношения, связанные с перепрофилированием производственных линий и новым строительством, а также соотношения, связанные с внешнеторговой деятельностью. В сокращенном виде эту модель можно записать так:

где х — вектор валового выпуска продукции предприятий;

А — матрица коэффициентов прямых материальных затрат на производство продукции предприятий размерности N * Л/;

N — число предприятий, выполняющих инвестиционный проект; у — вектор выпуска конечной продукции; е — вектор, состоящий из единиц;

а — общий объем производства выпуска конечной продукции; q — вектор пропорций выпуска конечной продукции; р — вектор мощностей производственных линий предприятий; у — вектор фиксированного выпуска конечной продукции.

В условиях данной модели и ниже произведения векторов рассматриваются как скалярные, вектор-столбец умножается на матрицу справа. В данной модели требуется рассчитать максимальный объем производства конечной продукции, определяемый величиной а при условиях и ограничениях (5.1)-(5.4). Неизвестными величинами в этой модели являются скаляр а и вектор х. Остальные величины — это параметры, в общем случае являющиеся неопределенными.

В соответствии с постановкой модели в форме пассивного подхода к задаче стохастического программирования требуется найти функцию распределения величины а и ее числовые характеристики как функцию распределения случайных параметров. Неопределенность элементов матрицы А рассматривалась в [112], а стохастическая задача подобного типа, но с ограничением только по производственным мощностям отраслей в рамках модели межотраслевого баланса исследовалась в [149-150]. Разработка задачи в данном параграфе представляет собой обобщение и развитие работ [112, 149-150].

Для упрощения дальнейшего анализа положим, что величина у равна нулю. Требуемый валовой выпуск продукции предприятий для обеспечения выпуска конечной продукции в объеме вектора у, обозначаемый х, рассчитывается по формуле

где

/ — диагональная матрица, состоящая из единиц.

Рассмотрим влияние неточности исходных данных на вектор х. Стохастический характер исходных параметров можно представить в виде случайных величин, распределенных на некоторых заданных интервалах.

Представим величины р, у и А в виде их средних значений и случайных приращений, которые будем считать центрированными величинами:

Тогда матрицу можно представить в виде

Если предположить, что интервалы случайных приращений матрицы А малы, то можно разложить матрицу по малому

параметру АД.

Матрица В является функцией матрицы А, поэтому исходными случайными величинами будем считать элементы матрицы А.

Ограничиваясь тремя членами разложения, имеем

Тогда вектор х запишется в виде

Вектор х будет случайным, так как является функцией случайной матрицы А и вектора у. В соответствии с пассивным подходом к стохастическому программированию требуется найти числовые характеристики х, такие как математическое ожидание, дисперсия и др. Подставляя в предыдущую формулу случайную величину у = у + Ау и полагая случайные величины А и у независимыми, получим, используя теоремы о числовых характеристиках случайных величин [184], что математическое ожидание случайной величины х, обозначаемое , будет равно

При выводе этой формулы учтено, что слагаемые этого выражения, включающие случайные величины АА и Ау или их произведения, равны нулю. Кроме того, пренебрегаем слагаемым М[ ВААВААВАу], учитывая его третий порядок малости.

М[у] — математическое ожидание случайной величины у.

В работе [112] показано, что

где о —знак поэлементного произведения матриц ВТ и D[AA] (произведение в смысле Адамара [112]);

ВТ — транспонированная матрица В .

В этой формуле учтено, что математическое ожидание произведений смешанных сомножителей ввиду центрированности случайных приращений матрицы А равно нулю: М[АА^ Вк/АА^ ] = 0.

В силу того, что получаем, что

выражение для М[х] цримсл ьид

Из этой формулы можно сделать важный вывод, что в принятом приближении математическое ожидание требуемого валового выпуска продукции предприятий в стохастической постановке не зависит от случайности вектора выпуска конечной продукции у.

Из этой формулы видно, что математическое ожидание случайной величины х равно его среднему детерминированному значению, обозначаемому х, плюс добавка, определяемая только случайными значениями матрицы АА:

где

Дисперсия случайной величины х, обозначаемая D[x], вычисляется по формуле

При выводе этой формулы учтено, что слагаемые этого выражения, включающие случайные величины АЛ и Ау или их произведения, в силу центрированности равны нулю. Кроме того, пренебрегаем слагаемыми, включающими множители М[ ВААВААВАу], учитывая их малость выше второго порядка.

Преобразуя выражение D[x], получаем

В качестве функций распределения случайных величин — параметров модели ниже будут рассматриваться два варианта: равномерное и нормальное распределения. Выбор этих распределений обусловлен следующими обстоятельствами. В данной модели неточность (неопределенность) информации имитируется случайной величиной на некотором интервале неточности значений параметра. Этот интервал определяется экспертно для каждого конкретного параметра.

Равномерное распределение означает полную неточность (неопределенность) параметра на заданном интервале. Нормальное распределение означает, что имеется статистически значимое множество экспертных оценок параметра, подчиненное нормальному закону распределения на некотором интервале (усеченное нормальное распределение). Дисперсия равномерного распределения определяется значениями отрезка, на котором оно укладывается, и равна квадрату длины отрезка, деленному на 12.

Дисперсию для нормального распределения определим так. Положим, что практически все нормальное усеченное распределение укладывается на заданном экспертно отрезке. Это означает, что отрезок приближенно равен 6 значениям корня квадратного из дисперсии (сигмы), откуда и получаем значение дисперсии. В третьем разделе данной работы приведены числовые примеры расчетов математического ожидания и дисперсии случайной величины х для этих вариантов распределений и различных числовых значений отрезков неточности значений матрицы АЛ.

Рассмотрим теперь оптимизационную модель (5.1)—(5.5). Решение на этой модели в детерминированной постановке имеет вид (см. главу 2 данной работы):

где

В — матрица, обратная к матрице

/ — диагональная матрица, состоящая из единиц.

Подставляя случайные выражения для р, у и А в формулу для вычисления величин а ,•, получаем

Пренебрегая величиной , представляющей второй порядок малости, после преобразований получаем

Поскольку элементы матрицы 8Д>48 — малые величины, то сомножитель

можно разложить в ряд по малому параметру. Ограничиваясь двумя членами разложения, получим

Подставляя это выражение в выражение для а ,•, получаем

Как видно из этого выражения, функция случайной величины a j,

/ = 1,N от случайных параметров в данной стохастической модели сводится к функции этой величины в модели с детерминированной постановкой с учетом двух поправочных слагаемых, обусловленных случайным характером величин р, у и А.

Тогда случайную величину атах можно представить в виде суммы детерминированного значения и поправок, обусловленных случайными возмущениями:

где

Рассмотрим формулу расчета функции распределения случайной

величины minAa:. Для удобства обозначим величину Да,- через а,-.

/ ' 11 Полагая, что все случайные параметры задачи независимы, получим, что величины a j также независимы и функцию распределения случайной величины а можно записать в общем виде [185]:

где Fj (а) — функция распределения случайной величины a j.

Введем обозначения а~ = mjn а., af = max а,- • Интервалы от aj~ до at представляют собой отрезки, на которых может реализоваться некоторое случайное значение величины a j. Упорядочим эти отрезки по возрастанию величин aj и заново перенумеруем образовавшуюся последовательность отрезков. Если эти отрезки перекрывают друг друга, то интервал, начиная от mjnaj' до /пах at, представляет собой отрезок, на

котором может реализоваться случайное значение величины а • Если для некоторого / значение aj~ будет превосходить значение at ^ , то отрезки

начиная с этого значения / можно исключить из рассмотрения. Это доказывается тем, что случайные значения величины а на этих отрезках всегда больше, чем на отрезках первой группы, тогда как в задаче требуется найти ее минимальное значение. Иными словами, полная группа элементарных событий реализуется только на отрезках первой группы.

Поскольку значения случайных величин а у, i = 1,N распределены

на конечных интервалах, то функцию распределения случайной величины а можно переписать так:

где т — индекс члена упорядоченной по возрастанию и соответственно перенумерованной последовательности причем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины а вычисляются по формулам

В подынтегральных выражениях величину можно записать в виде dF(a)- Тогда эти выражения можно представить в виде

Интегрируем М[а] и D[a] по частям по формулам [214]:

Используя эти формулу, подставляя F(a) в выражения М[а] и D[a], получим

Вывод формул математического ожидания и дисперсии в общем виде весьма сложен. Для упрощения вывода рассмотрим два частных

случая решения этой задачи. В частном случае 1 т=1 и 9^= а В частном случае 2 первые т (т>1) членов упорядоченной по возрастанию последовательности {aj~} равны между собой, т.е. и, кроме того, а^+^ = а^.

В частном случае 1 функция распределения принимает вид и в частном случае 2

Соответственно формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины а в частном случае 1 имеют вид:

и в частном случае 2

Частный случай 1 соответствует такому состоянию, когда хотя бы одно ограничение модели значительно разбалансировано по отношению к максимизации целевой функции, а разброс параметров так относительно мал, что интервалы первых двух упорядоченных по возрастанию отрезков величин а у, / = 1,т не пересекаются. Это означает, что интервал распределения величины а можно представить на числовой оси в виде первого отдельного интервала, который не пересекается с другими интервалами, что и отражено в приведенных выше формулах для математического ожидания и дисперсии величины.

Частный случай 2 решения рассматриваемой задачи соответствует такому состоянию, когда ограничения задачи приближенно сбалансированы по отношению к максимизации целевой функции. При этом разброс параметров таков, что интервалы величин а у, / = 1,т, соответствующие

крайним значениям разброса параметров, несильно отличаются одно от другого. Это означает, что случайные значения величины а распределяются на интервале, который представляет собой наложение т интервалов, минимальные и максимальные значения которых мало отличаются друг от друга. Поскольку интервалы примерно одинаковые, то в качестве расчетных значений берутся минимальное и максимальное значения первого интервала, что и отражено в приведенных выше формулах для математического ожидания и дисперсии величины а.

Для практических решений условия в частном случае 2 можно рассматривать приближенно. Критерием такого приближения могут служить отклонения математического ожидания величин а у. Если математические ожидания случайных величин а у с индексами i = 1,т приближенно равны между собой, то для того чтобы этот случай можно было рассматривать как частный случай 2, необходимо, чтобы выполнялось соотношение

где ? — число, меньшее 1, определяющее степень близости математических ожиданий случайных величин а ,•;

М[а/ ] — средняя величина математических ожиданий случайных величин aj .

Опыт показывает, что многие практические задачи покрываются двумя рассмотренными частными случаями. Для этих частных случаев функция распределения случайной величины а равна F^(a) или

является степенной функцией этой функции. Остается найти эту функцию исходя из формул для случайной величины а. Эти формулы представляют собой суперпозицию случайных величин Др, Ау и аА.

Рассмотрим сначала равномерное распределение исходных случайных величин — параметров модели. В практических случаях векторы Ау и матрица аА обычно включают такое количество элементов, которое достаточно, чтобы их суперпозиция при любом законе распределения принимала нормальный вид (более 10-15 элементов) [184—185]. Поэтому будем считать, что слагаемые, включающие случайные величины Ду и д /, распределены по нормальному закону и их суперпозиция также будет распределена по нормальному закону.

Суперпозиция величины Др, распределенной по равномерному закону со слагаемыми, распределенными по нормальному закону, также будет иметь нормальное распределение. Числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) в этом случае можно получить на основе теорем о числовых характеристиках [184], не используя функции распределения. Для более углубленного исследования требуется использовать функцию распределения, которую можно вычислить по вышеприведенным формулам.

Очевидно, что в случае использования нормального распределения исходных случайных величин Др, Ду и аА, функция F^(a) будет также распределена по нормальному закону. Тогда функцию F^(a) как в

случае равномерного, так и нормального распределения случайных параметров можно записать в виде

где

о — знак поэлементного произведения матриц и векторов (произведение в смысле Адамара).

При выводе этой формулы опущено второе слагаемое выражения Да,- ввиду малости, большей, чем второй порядок. При выводе также

использовались теоремы о числовых характеристиках случайных величин.

Интеграл в выражении F^(a) не берется в элементарных функциях.

Поэтому для вычисления значений этой функции используют специальные функции (интегралы вероятностей), для которых составлены таблицы, в частности интеграл вероятностей вида

Хотя при вычислении математического ожидания и дисперсии случайной величины а можно воспользоваться табличными значениями интеграла вероятностей, все же это при вычислениях на компьютере не очень удобно. Для практических целей можно получить приближенное представление этого интеграла, выражаемое через элементарные функции, если вместо интеграла вероятностей использовать близкую к нему логистическую функцию У(х). Для логистической функции и интеграла вероятностей вида

на всей числовой оси выполняется соотношение [215]

Рассмотрим сначала частный случай 1 данной модели, когда одно из ограничений значительно разбалансировано по отношению к другим. В этом случае множество отрезков неопределенности случайной величины а состоит из отрезка, отделенного от других конечным интервалом, на которых случайное значение величины а не может реализоваться. Поэтому функция распределения величины а выражается в виде функции F^(a).

Поскольку , то, заменяя ф(х) на ф(1,7х) и учитывая, что в рассматриваемом частном случае 1 интервалом распределения случайной величины а является отрезок (aj ,af), функцию F^(a) можно записать в виде

где

Этот интеграл можно взять посредством замены переменной и интегрирования функции вида

Учитывая, что >, по формуле для математического ожидания (5.11) получаем

При определении величины D[a] учтем, что интеграл взят выше, поэтому остается взять интеграл

В этом интеграле также можно приближенно заменить интеграл вероятностейлогистической функцией и посредством замены переменной и привести этот интеграл к виду

Интеграл от первого слагаемого взят выше. Второе слагаемое можно интегрировать приближенно, представив сомножитель в ряд Тейлора в точке у = 0 и оставив два члена разложения:

После взятия интегралов, учитывая, что и собирая остальные слагаемые, получаем выражения D[a] :

В частном случае 2 для определения математического ожидания случайной величины а требуется взять интеграл

Подинтегральная функция представляет собой степенную функцию (биномиальный ряд), переменной которой является интеграл вероятностей. Заменяя интеграл вероятности логистической функцией, подинтегральное выражение рассматриваемого интеграла приводим к интегрируемой рациональной функции:

Второе слагаемое интеграла представим приближенно в виде , что интегрируется в элементарных функциях. Учитывая, что , получаем

Аналогичные преобразования в интеграле из выражения D[a] также приводят к интегрированию в элементарных функциях.

В итоге получаем следующие выражения М[а] и D[a] случайной величины а для частного случая 2:

Анализируя полученные формулы М[а] и D[a] для двух частных случаев, можно сделать следующий вывод. Значения М[а] увеличены относительно среднего значения величины а (смещение М[а]) в обоих случаях. При этом смещение для частного случая 2 меньше, чем для частного случая 1. Значения дисперсии также меньше для частного случая 2 по сравнению с частным случаем 1.

Представляет интерес выявить влияние отдельных случайных параметров на общий результат. В частности, оценить влияние неточности матрицы коэффициентов прямых затрат по сравнению с другими параметрами. В выражении величины aу будем считать случайными

только параметры р и у, в результате получим

Так же как и в общем варианте случайных параметров, в данном варианте случайная величина а представляет собой суперпозицию слагаемых с случайными величинами Др и Ду Поскольку слагаемые со случайными величинами Ду представляют сумму, которая на практике превышает величину, необходимую для аппроксимации распределения нормальным законом, то при любом виде распределений входящих в нее случайных параметров случайная величина а будет распределена по нормальному закону

Рассмотрим частные случаи 1 и 2. Отличие рассматриваемого варианта случайных параметров от общего варианта состоит в отличии только одного параметра нормального распределения — величине о^.

В варианте со случайными параметрами Др и Ду эта величина равна

Сравнение величины ст у для общего варианта случайных параметров и варианта со случайными параметрами Ар и Ду показывает, что отличие состоит в числителе, который меньше для общего варианта на величину (B°B)D[AA](B°B)(y°y).

Таким образом, случайность матрицы д уменьшает дисперсию случайной величины а. Задача (5.1)—(5.5) ранее анализировалась в работе [150]. В этой работе в качестве случайного параметра рассматривался только вектор производственных мощностей отраслей в рамках модели межотраслевого баланса с равномерным распределением и только частный случай 1. В данной работе выполнено следующее обобщение: в качестве случайных рассмотрен также вектор выпуска конечной продукции и матрица прямых материальных затрат и проанализировано два частных случая распределения случайной величины а.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >