Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Финансы arrow Комплекс оптимизационных и имитационных моделей для исследования реализации предприятиями инвестиционных производственных проектов

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАТРАТ НА ПРОИЗВОДСТВО

В данном параграфе рассматривается динамическая оптимизационная модель инвестиционного периода реализации производственного проекта главы 3 данной работы в стохастической постановке.

Эту динамическую модель в случае неопределенности ее параметров можно рассматривать как стохастический процесс, т.е. последовательность случайных значений выходных переменных в моменты времени t (t = 0,1,2,...). Случайные переменные принимают непрерывные значения, а время — дискретные значения.

Состояние системы переменных в каждый момент времени зависит от состояний в предшествующие моменты времени. Однако на практике моделировать такие процессы очень сложно, поэтому обычно применяют упрощающие предположения. Важнейшим среди них является предположение, что состояние системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящий момент и не зависит от прошлого. Такие процессы называются процессами Маркова [216].

Этот процесс определен, если есть правило, с помощью которого можно определить вероятности последовательности состояний системы в моменты времени t. Для этого необходимо, чтобы были решены следующие задачи:

  • • определена информация, на основе которой можно получить все другие данные о состоянии системы;
  • • определено распределение вероятностей после некоторого числа шагов по времени и приближается ли оно с ростом числа шагов к какому-либо предельному распределению;
  • • определены вероятности перехода из одного фазового состояния в другое на некотором шаге по времени.

Допустим, что состояние рассматриваемой динамической модели в стохастической постановке можно представить процессом Маркова. Группа динамических оптимизационных моделей инвестиционного периода реализации производственного проекта сформулирована в виде набора уравнений рекуррентного типа. Кроме того, эти модели взаимно связаны и включают несколько критериев. Последнее обстоятельство усложняет формулировку динамических моделей в стохастической постановке. Для упрощения рассмотрим одну, но самую важную модель из этой группы — модель затрат на производство продукции.

Выходным показателем модели являются общие затраты, которые определяются исходя из затрат исходной продукции, затрат труда, длительности технологических циклов производства продукции и т.д. Эти затраты определяются по формуле (3.6) из параграфа 3.2:

где hj (t) — количество занятых работников в момент времени t;

р. (t) — производительность предприятия / в момент времени t; — трудоемкость производства продукции на предприятии /';

о jj — коэффициенты прямых затрат продукции (выполнении работ, оказания услуг) на предприятии /, выпускаемой предприятием j;

Pj — отношение среднего фонда оплаты труда на одного работающего;

в/ — доля затрат труда в объеме выпуска продукции на предприятии /;

Vjj(t) — затраты на предприятии / исходной продукции, выпускаемой на предприятии j.

Детерминированное выражение общих затрат можно трансформировать в стохастическое, если представить, что в каждый момент времени величины Pj(t), hj (t) и Vjj(t) равны сумме средних значений на предыдущем и случайных добавок:

Будем считать случайные величины

центрированными. Подставив эти выражения в формулу (5.18), получим, что величина х (t + 1) на шаге времени t + 1 равна сумме среднего значения на шаге t и случайному возмущению на шаге t + 1 ?

Рассматриваемый динамический процесс определяется рекуррентными соотношениями типа

где при каждом t случайная измеримая по Борелю функция L + Q переменных х,у, а ?(1),?(2),... — некоторые случайные векторы со значениями из Eq (Eq , El — эвклидовы пространства размерности L,Q )•

Для того чтобы рекуррентное соотношение (5.20) определяло некоторый процесс X(t) , необходимо задать начальное условие Х(0) в момент времени t = 0. Процесс X(t) с таким начальным условием будем обозначать ? В нашем случае Х(0) = х не случайно и Х® (t) — процесс, выходящий в момент времени 0 из фиксированной точки х.

Пусть случайные величины независимы в совокупности. Тогда из вида системы (5.25)-(5.27) вытекает и независимость процесса Х(и) = Х^^(и), ?(и + 1),?(и + 2),... при и >0. При этом процесс X(t) = X°*(°)(t) полностью определяется по величинам X(0),?(1),?(2),...,%(t), т.е. является некоторой фикцией величин X(0),?(1),?(2),...,?(t). В [216] доказывается, что процесс X(t) = X^^^(t), определяемый рекуррентными соотношениями (5.20) и начальным условием Х(0) , является Марковским и его переходная функция Р(и,х,и + 1,Г) за один шаг равна

где Г — некоторое множество значений X(t) .

Полагая, что множество Г — это вектор у = (у^,...,У/) при условии у^ < Xp...,yj < X/, получаем, что переходная функция (5.21) — это многомерная функция распределения X(t) .

Для удобства дальнейших действий обозначим в выражении (5.19)

Обозначим X случайную составляющую (второе слагаемое) Xj(t + 1), которую запишем в виде

Положим, что случайные величины у, z и w j распределены на отрезках с минимальными и максимальными значениями (у~,у+), (z~,z+) И w],wj.

Функция распределения F(X) величины X записывается в виде [185]

где

Функция распределения имеет вид

где п — количество случайных величин w у. Для упрощения примем, что случайные величины у, z и Wj имеют одинаковые функции распределения и обозначим случайные величины у, z и wj через х • Тогда функция распределения F(min w ? ) примет вид

j J

После подстановки функции распределения F(min w ? ) в общую

i J

формулу F(X) ползаем

После возведения в степени формула принимает вид

Поскольку по смыслу функции распределения F(x) < 1, то значения степеней этой функции F^(x), F^(x) и т.д. уменьшаются. Ограничившись третьим порядком малости, получим приближенное выражение

Далее на основе функции распределения можно вывести формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины X. Для этого сначала получим функцию плотности X, обозначаемую f(X), продифференцировав F(X) :

Выше отмечалось, что в качестве функций распределений элементарных (первичных) случайных величин х интересно рассмотреть равномерное и нормальное распределения. Распределение и плотность случайной величины х в случае равномерного распределения имеют вид

где х ,х+ — минимальное и максимальное значения случайной величины х;

Лх = х+ - х_ — длина отрезка разброса случайной величины х •

Математическое ожидание М[Х] случайной величины X определяется по формуле

При интегрировании будут появляться выражения вида , где / — число возведения в степень. Обозначим это выражение как ДХу,

После взятия интегралов получаем

В силу центрированности случайной величины х четные величины А Ху = 0. Тогда формула М[Х] примет вид

Из этой формулы видно, что М[Х] ф 0 . Это означает смещенность математического ожидания случайной величины X.

Дисперсия D[X] случайной величины X определяется по формуле

После взятия интегралов получаем Исключая четные величины Дху, получаем

Представляет интерес определить, какое влияние оказывают на плотность и функцию распределения случайной величины X элементарные случайные величины wj. Для этого рассмотрим случайную

величину X, в которую входят только элементарные случайные величины у , z ? В этом случае функция распределения F(X) имеет вид

F(X) = 1-[1 -F(x

После возведения в степень получаем

F(X) = 2F(x)-F2

Вычитая из функции F(X) для общего случая распределение для рассматриваемого случая, получаем добавку, обусловленную включением случайных величин wj, обозначаемую AF(X),

Если пренебречь членами второго и третьего порядка малости, то получим

Плотность функции распределения X получаем дифференцированием AF(X):

Добавление случайных величин Wj приводит с учетом пренебрежения членами второго и третьего порядка малости к изменению математического ожидания и дисперсии случайной величины X на величины АМ[Х] и AD[X]:

Учитывая, что случайная величина центрированная, получаем ЛМ[Х] = 0 в силу Ах2 = 0. Это означает, что добавление случайных

величин w j не влияет на математическое ожидание случайной величины X, тогда как дисперсия уменьшается на величину

Такой вывод подтверждается качественным суждением о том, что добавление элементарных случайных величин приводит к большей определенности их функции X, в пределе приводя к детерминированной величине.

Рассмотрим теперь нормальное распределение элементарных (первичных) случайных величин. Плотность нормального распределения имеет вид

Интегралы от плотности распределения не берутся в элементарных функциях. Для целей данного исследования можно использовать приближение к плотности нормального распределения в виде разложения в ряд Тейлора в точке х = 0 ? Оставив два члена разложения, получим

Подставляя это приближение плотности распределения в формулу М[Х] и выполнив интегрирование, получаем

Учитывая, что , получаем М[Х] = 0 ? В отличие от

равномерного распределения при нормальном распределении элементарных случайных величин х математическое ожидание случайной величины X не смещенное.

Подставив приближение плотности распределения случайной величины х в выражение дисперсии D[X] и выполнив интегрирование, получаем

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 
Популярные страницы