ВТОРОЙ ЧАСТНЫЙ ВАРИАНТ

Рассмотрим теперь второй частный вариант, когда неопределенными наряду с величинами PL(l,t) и MXL(l,t) считаются также величина еаг(1). В этом случае выражение (6.1) будет функцией случайных величин ear(l), PL(l,t) и MXL(l,t). Зависимости этих величин, как и в предыдущем варианте, запишем в виде не случайного слагаемого и случайного приращения:

где ear (l,t) — среднее значение заработной платы занятых работников на производстве изделия / в точке времени t;

ёаг(Ц) — случайное изменение величины заработной платы занятых работников на производстве изделия / в точке времени t.

Подставляя эти выражения в формулу для вычисления выпуска продукции, после преобразований получаем

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой не случайную величину. Второе слагаемое при определенном значении / является функцией случайных величин ёаг(1), PL(l,t) , MXL(l,t) , которую обозначим :

Для упрощения записи примем во внимание, что для на каждом шаге времени t это выражение неизменно, поэтому индекс t опустим, а также для простоты записи опустим фиксированный индекс / и обозначим:

Тогда предыдущее выражение будет выглядеть так:

где — случайная величина, являющаяся функцией элементарных случайных величин г, р и у. Случайные величины г, р и у центрированные, поэтому их математические ожидания равны нулю.

Для вычисления математического ожидания и дисперсии этой случайной величины надо определить плотность ее распределения как функцию входящих в ее состав элементарных случайных величин. Чтобы найти плотность распределения, целесообразно найти сначала функцию ее распределения, которую обозначим . Эта функция

имеет вид [184]

где f(r,p,y) — функция плотности совместного распределения случайных величин г , р и у ;

G(p — область интегрирования как функция случайной величины (р. Зависимость функции Fy от аргумента появляется в результате интегрирования по области Gy. Эта область представляет собой

множество, которое образуется как проекция сечения множества, заданного функцией , гипер-плоскостью (г,р,у) перпендикулярной оси и на расстоянии от начала координат [184].

Чтобы определить конкретно область интегрирования, представим функцию в виде суперпозиции составляющих ее функций, в результате чего интегрирование трехмерного интеграла можно свести к взятию двукратных интегралов. Обозначим , где

Тогда функцию и функцию распределения перепишем в виде

где fZy (z, у) — функция плотности совместного распределения случайных величин z и у ;

GZy — область интегрирования, представляющая собой область на плоскости, определяемую координатами z,y справа и выше прямых z = и у = ср, являющуюся функцией случайной величины [184].

Случайные величины z и у в нашем случае независимы, поэтому для определения плотности распределения случайной величины как функции случайных величин z и у можно использовать формулу (6.2) из предыдущего случая, когда случайные величины z и у были элементарными. В данном случае величина z является функцией случайных величин г и р , но функция плотности распределения случайной величины имеет вид, аналогичный предыдущему случаю.

Для того чтобы найти и Dy, надо сначала определить функцию распределения случайной величины z как функцию входящих в ее состав элементарных случайных величин г и р [184]. Для этого сначала находим функцию распределения случайной величины w = гр как произведения случайных величин г , р , которая записывается в виде

где f(r) — плотность функции распределения случайной величины г ;

f(p) — плотность функции распределения величины р ;

Grp — область совместного распределения случайных величин г и р.

Потом находим функцию распределения суммы двух случайных величин s = грГ + pFaF ?

где f(r) — плотность функции распределения случайной величины г=rFL;

f(p) —плотность функции распределения величины р = pear ;

G -- — область совместного распределения случайных величин f и р.

Затем окончательно находим функцию распределения случайной величины и как суммы случайных величин s иw — функцию распределения суммы случайных величин :

где f(s) — плотность функции распределения случайной величины s ;

f(w) — плотность функции распределения величины р ;

Gsw — область совместного распределения случайных величин s и w .

После того как определены формулы для вычисления плотности и распределения случайной величины , можно найти ее числовые характеристики, такие как математическое ожидание и дисперсия, по формулам (6.3) и (6.4).

Формула распределения случайной величины является функцией распределений элементарных случайных величин, входящих в ее состав. Рассмотрим сначала случай, когда элементарные случайные величины распределены по закону равномерной (постоянной) плотности на заданных отрезках:

В соответствии с принципом разложения сложной функции на элементарные функции для определения f(cp) нужно найти функции f(w), f(s) . Плотность функции распределения случайной величины w целесообразно находить в два этапа: сначала найти функцию распределения F(w), а затем — плотность распределения f(w) дифференцированием функции распределения.

Случайная величина w = гр распределена равномерно в прямоугольнике, расположенном симметрично относительно осей г и р. Функция распределения F(w) случайной величины w — это часть прямоугольника со сторонами Аг и Ар, отсекаемая кривой w = гр и лежащая в 1-м и 3-м квадранте соответственно слева и ниже и справа и выше этой кривой, а во 2-м и 4-м квадрантах это части прямоугольника.

Поскольку по смыслу функции распределения часть прямоугольника, отсекаемая кривой w = гр, должна быть положительной, а кривая расположена в 1-м квадранте, то расположим этот прямоугольник на оси абсцисс и будем искать его часть, отсекаемую кривой w = гр в

1-м квадранте. Пусть для определенности величина г распределена по оси ординат, а р по оси абсцисс. Функция распределения F(w) записывается в виде

Исходя из того, что по смыслу функции распределения должно выполняться условие , получаем ? и функцию F(w) перепишем в виде

После взятия интеграла получаем

Дифференцируя функцию F(w) по w , имеем

Плотность функции распределения величины s = r + р также целесообразно искать в два этапа: сначала найти функцию распределения, а затем плотность получить дифференцированием функции распределения [184].

Плотности функций распределений величин и р имеют вид

, а функция распределения суммы двух случайных

величин г~р? и pear постоянной плотности, обозначаемая F(s), будет равна

где Gs — часть квадрата со сторонами А? и Ар, лежащая ниже и левее прямой s = r + р ?

Выбрав в качестве ординаты и абсциссы соответственно величины р и р , получим, что в этой системе координат прямая s = r +р пересекает эти оси под углом 45°. Чтобы определить часть площади квадрата как функцию s , расположим его на оси абсцисс. Для упрощения дальнейших операций сдвинем этот квадрат вправо так, чтобы левый нижний угол находился в начале координат. Этот сдвиг влияет лишь на области распределения случайных величин, входящих в состав функции F(p, что будет далее учтено.

Тогда при увеличении s прямая s = r +р движется слева направо, пересекая квадрат в точке (0,0), далее пересекает верхний левый и нижний правый углы прямоугольника и затем в точке (Аг,Ар) выходит за его пределы.

Часть квадрата, лежащая ниже и левее этой прямой, представляет собой сначала треугольник, а затем квадрат за вычетом треугольника, отсекаемого прямой и лежащего выше и правее этой прямой. Обозначим As = Аг +Ар . Тогда выражение для части площади квадрата как функцию s можно записать в виде соотношений:

1) при

2) при

3) при

4) при

Дифференцируя функцию распределения по s, получаем плотность распределения fs(s):

1) при

2) при

3) при

4) при

После определения плотности распределения случайной величины f(s) можно вычислить функцию f(u) — плотность распределения случайной величины и = s + w как суммы случайных величин s и w . Функция f(w) отлична от нуля и положительно определена на отрезке (0,1) , а функция f(s) имеет различный вид на двух отрезках изменения величины s, представленных выше. Поэтому для определения плотности функции распределения целесообразно сначала найти функцию распределения F(u) суммы случайных величин и = s + w , а затем получить плотность распределения дифференцированием функции распределения.

Функцию распределения суммы двух случайных переменных определяем по формуле

где Gu — область интегрирования как функция величины и = s + w , представляющая собой часть прямоугольника в системе координат s и w , ограниченного отрезком (О, А г Ар) по w (ось ординат), и отрезком (0,2) по s (ось абсцисс), отсекаемая прямой и = s + w и находящаяся слева и ниже этой прямой. Ниже в численных примерах будет рассмотрен случай, когда др много больше АгАр . В этом случае приближенно можно считать, что прямая и = s + w расположена вертикально, т.е. и = s.

Тогда функцию F(u) можно записать в виде двукратных повторных интегралов на двух участках (0, As), (As, 2As):

1) при

2) при

3) при

4) при

Интеграл от логарифма не берется в элементарных функциях. Однако его можно представить в виде разложения в ряд Тейлора в точке w = А г А р ? Приняв линейное приближение, получаем

Тогда после взятия интегралов имеем:

1) при

2) при

3) при

4) при

Поскольку должно выполняться условие , то для

функции F(u) получаем нормирующий коэффициент, равный

. Плотность функции распределения f(u) получаем дифференцированием функции распределения F(u):

1) при

2) при

3) при

4) при

Поскольку случайная величина z равна случайной величине и, деленной на не случайную величину q , то вместо функций f(z) и F(z) используем функции f(u) и F(u). Подставляя их в формулы (6.3) и (6.4), получаем выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины ф = min(u, у). При этом учтем, что интегрирование по и выполняется на двух участках, а интегрирование по у — на одном участке, но для двух видов функции Fu (у). Поэтому

величины Ми, Му и Du, Dу состоят из двух слагаемых.

Кроме того, вернемся к первоначальному расположениюобласти интегрирования по оси и — сдвинем ее влево на величину . Тогда

областью интегрирования по и будут два смежных отрезка (и_,и) (и,и+),гд&

Функция распределения Fy (и) имеет вид . В формулах для Ми и Du эта функция используется в виде . Эта функция распределения не нормирована для

интегрирования по переменной и ? Учитывая смысл функции распределения, введем для нормировки слагаемое Аи и коэффициент Киу,

которые определяются из условий

Для интегрирования по переменной у функция Fu (у) также должна быть ноомипована. Эта функция имеет два вида,которые обозначим. Для нормировки функции вводим величину Ду.7 и коэффициент Ку, определяемые из условий:

Для нормировки функции

вводим слагаемое Ду2 и коэффициент Ку^, определяемые из условий

и

В итоге получаем следующие формулы:

После взятия этих интегралов формулы принимают вид

где AUj = и1 -uL, Аи* = и+ - и , i = 2,5.

Затем окончательно вычисляем

Выведем теперь выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины в случае нормального распределения элементарных случайных величин, входящих в ее состав. В этом случае плотности распределения для случайных величин г и р имеют вид

Функция плотности распределения f(w) для w > 0 имеет вид [185]

Эту формулу можно переписать в виде

Этот интеграл не берется в элементарных функциях. Кроме того, экспоненциальную функцию от аргумента у нельзя разложить в ряд

Тейлора в точке г = 0. Для взятия этого интеграла воспользуемся аппаратом характеристических функций.

Характеристическая функция для функции f(w) (прямое преобразование Фурье), обозначаемая E(t) , имеет вид

Искомая функция f(w) вычисляется по формуле (обратное преобразование Фурье)

Если функции распределения случайных величин г и р четные, как в нашем случае, то формулу для характеристической функции и искомой функции, получаемой обратным преобразованием Фурье, можно записать в виде [214]

Для упрощения взятия интеграла разложим подынтегральные функции в ряд Тейлора: функцию в точке г = 0, а функцию

в точке р = 0, оставив два члена разложения:

Функцию cos(trp) представим в

виде разложения в ряд Тейлора в точке 0, оставив два члена разложения:

Учитывая приближенность подынтегрального выражения, интеграл характеристической функции будет расходящимся. Чтобы избежать этого, интегрирование по переменным г и р будем выполнять

на конечных отрезках, которые обозначим (г_,г+) и (р_,р+), определяемых Учитывая, что интегрирование ведется на конечных отрезках, получаем приближенное выражение для характеристической функции E(t) :

Выполнив интегрирование, получаем где

После того как получена характеристическая функция E(t) , искомая функция f(w) вычисляется по формуле обратного преобразования Фурье. Для упрощения интегрирования разложим функцию cos(tw) в точке 0 в ряд Тейлора, оставив два члена:

Учитывая, что функция cos(tw) периодическая и в разложении в ряд Тейлора оставлено два члена, интегрирование будем проводить на

отрезке

Выполнив интегрирование, получаем где

После получения функции распределения величины w = гр переходим к определению функции распределения величины и = s + w , где s = г PL + pear . Для нормально распределенных случайных величин г рС и pear плотность распределения их суммы также является нормальной функцией с математическим ожиданием М s = 0 ввиду и дисперсией

и плотность функции распределения f(s) записывается в виде

Поскольку случайные величины в композиции и = s + w заданы различными законами, то для вывода функции f(u) целесообразно сначала определить функцию распределения F(u), а затем дифференцированием получить плотность распределения.

Переменная w изменяется в конечных пределах (w_,w+). Эти пределы определяются как w_ = min(rj)+,r+p_), a w+=max(rp_,r+p+). Тогда

функцию распределения суммы двух случайных величин можно определить по формуле

Для упрощения интегрирования разложим экспоненту в точке s = 0 в ряд Тейлора, оставив два члена:

С учетом принятого приближения интегрирование по переменной s проводим на конечном отрезке ('s_,s+j, где

После интегрирования получаем где

При этом учтено, что при / = 2,4,6 ?

Функция F(u) не нормирована. Для нормировки вводим слагаемое AF,, и коэффициент Ки, которые находятся из условий F(0) + AFU = О и . Функция F(u) используется для определения

плотности распределения f(u), а также непосредственно в формулах

Му и Dy как функция переменной у. В этом качестве она также должна быть нормирована. Для нормировки вводим слагаемое AFyU и коэффициент Kvu, которые находятся из условий F(0) + AFyU = 0 и

Плотность функции распределения находим дифференцированием

Теперь, учитывая, что — не случайная величина, используем функции f(u) и F(u), как в предыдущем варианте с равномерным распределением элементарных случайных переменных, для получения математического ожидания и дисперсии случайной величины ф = min (и, у) и далее аналогично получаем математическое ожидание и дисперсию случайной величины ср = min(z,y).

Плотность и функция нормального распределения случайной величины у имеют вид

Для упрощения интегрирования представим функцию f(y) разложением в ряд Тейлора в точке у = 0, оставив два члена разложения:

Область определения функции f(v) по переменной у представляет собой отрезок

Функцию распределения у, как и выше, представим в виде

Поскольку функция F(u) будет использоваться в выражениях для Ми и Du, то ее надо нормировать по переменной и . Для этого вводим слагаемое AFuy и коэффициент Kuv, которые определяются из условий:

Учитывая, что в принятом приближении переменная и изменяется в конечных пределах (и_,и+), где и_ = s_+w_ и и+ = s++w+, то по

формулам, аналогичным (6.3) и (6.4), получаем выражения Ми, Му и

Du, Dy :

После взятия интегралов формулы принимают вид

где

Теперь можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по формулам

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >