Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Финансы arrow Комплекс оптимизационных и имитационных моделей для исследования реализации предприятиями инвестиционных производственных проектов

ОБЩИЙ ВАРИАНТ

Рассмотрим, наконец, наиболее общий вариант, когда неопределенной наряду с величинами PL(l,t), MXL(l,t) и ear(l) считается также величина ptearsum(l). В этом случае выражение (6.1) будет сложной случайной величиной — функцией случайных величин PL(l,t) , MXL(l,t), ear(l) и ptearsum(l). Зависимости этих величин, как и в предыдущих вариантах, запишем в виде неслучайного слагаемого и случайного приращения:

где ptearsum (I) — среднее значение доли цеховых расходов на заработную плату при производстве изделия /;

ptearsum(l) — случайное изменение доли цеховых расходов на заработную плату при производстве изделия /.

Подставляя эти выражения в формулу для вычисления выпуска продукции, после преобразований получаем

Первое слагаемое в этом выражении, как и второе, представляет собой случайную величину. Однако в первом слагаемом случайной является только элементарная случайная величина ptearsum(l). Примем в этом выражении следующие упрощающие предположения. Положим, что случайные величины ptearsum(l) малы по сравнению с их средними значениями и пренебрежем этой величиной в первом слагаемом, поскольку она не сильно влияет на его значение. Тогда только второе слагаемое будет случайной величиной.

Второе слагаемое этого выражения при определенном значении / является сложной функцией случайных величин PL(l,t) ,MXL(l,t),

ear(l) и ptearsum(l) I = 1,PR, которую обозначим (p

Для упрощения записи, как и выше, примем во внимание, что для каждого шага по времени t это выражение неизменно, поэтому индекс t опустим, а также для простоты записи опустим фиксированный индекс / и обозначим:

Тогда предыдущее выражение будет выглядеть так:

где — сложная случайная величина, являющаяся функцией элементарных случайных величин г , Р, У и q .

Для вычисления математического ожидания и дисперсии этой случайной величины надо определить плотность ее распределения как функцию входящих в ее состав элементарных случайных величин. Чтобы найти плотность распределения, целесообразно найти сначала функцию ее распределения, которую обозначим . Эта функция

имеет вид [184]:

где f(r,p,y,q) — функция плотности совместного распределения случайных величин г, р, у и <7 .

G(p — область интегрирования как функция случайной величины (р. Зависимость функции от аргумента появляется в результате интегрирования по области G^. Эта область представляет собой

множество, которое образуется как проекция сечения множества, заданного функцией (р, гиперплоскостью (г, р, у, q) перпендикулярной оси и на расстоянии от начала координат.

Чтобы определить конкретно область интегрирования, представим функцию в виде суперпозиции составляющих ее функций, в результате чего интегрирование четырехмерного интеграла можно свести к взятию двукратных интегралов. Обозначим ,

. Тогда случайную функцию и ее функцию распределения перепишем в виде

где fzy(z,y) — функция плотности совместного распределения случайных величин z и у;

GZy — область интегрирования, представляющая собой область на плоскости, определяемой координатами z, у справа и выше прямых z = и у = , являющуюся функцией случайной величины ср [185].

Случайные величины z, у в нашем случае независимы, поэтому для определения плотности распределения случайной величины как функции случайных величин z, у можно использовать формулу (6.2), использованную в первом частном случае, когда случайные величины z и у были элементарными. В данном случае случайная величина z является функцией случайных величин г , р и q , но функция плотности распределения случайной величины имеет вид, аналогичный предыдущему случаю (6.2).

Для того чтобы найти Мр и Dp, надо сначала определить функцию распределения случайной величины z как функцию входящих в ее состав элементарных случайных величин г , Р и q . Но для этого в соответствии с принципом суперпозиции надо сначала найти распределение случайной величины z как частного от деления случайных величин и и у , а затем распределение случайных величин и а у как функций элементарных случайных величин г, Р и <7 .

Полагая, что случайные величины и и у независимы (никаких оснований считать их зависимыми нет), функцию F(z) можно в общем случае записать в виде [184]:

где f(u) — плотность распределения случайной величины и;

f(y) — плотность распределения случайной величины у равна плотности распределения случайной величины q, сдвинутой вправо на величину q ;

Guv — область совместного распределения случайных величин и и у .

Плотность функции распределения f(u) находим так же, как и в предыдущем случае. Отличие состоит лишь на этапе определения функции F(z). Рассмотрим сначала вариант, когда элементарные случайные величины распределены равномерно на заданных участках.

Поскольку функция f(u) задана на двух участках изменения переменной и, то целесообразно (как и выше) сначала получить функцию распределения F(z) случайной величины z, а затем, продифференцировав ее, — плотность функции распределения f(z).

Область интегрирования Gz представляет собой часть прямоугольника, отсекаемого прямой . Будем считать, что переменная у является осью ординат, а и — осью абсцисс. Прямоугольник лежит выше оси абсцисс со сторонами по оси у, равными отрезку (v_,v+), а по оси и на двух смежных отрезках (и_,и) и (и,и+), определенных в предыдущем варианте.

При увеличении z прямая z = — вращается по часовой стрелке.

V

Отсекаемая этой прямой часть прямоугольника находится в 1 -м квадранте слева и выше этой прямой.

Поскольку область интегрирования по переменной и разделяется на две части, где плотность функции распределения f(u) имеет различные значения, приведенные выше, то функция распределения F(z) также имеет различный вид на соответствующих участках изменения переменной z ? Кроме того что функция f(u) на участках интегрирования по и различна, меняется также и форма областей интегрирования на этих

участках при пересечении прямой z = — углов прямоугольника.

V

При вращении прямой z = — по часовой стрелке, начиная с пере-

v

сечения левого нижнего угла прямоугольника до пересечения его правого нижнего угла, область интегрирования разделяется на участки с точками по переменной z, которые зависят от соотношения величин отрезков Л v = у+ - г_ и (и_,и+) . Ниже представлены точки участков разбиения по переменной z, в случае если Ду много меньше

Функция F(z) на этих участках имеет вид:

1) при

2) при

3) при

4) при

где

5) при где

6) при где

7) при

Поскольку функцию F(z) необходимо нормировать исходя из условия F(zq ) = 1, то функции fj(u) и берутся без нормировочного множителя Ки, определенного выше.

Взяв эти интегралы, получаем

Поскольку значения функции распределения F(z) на правом конце участков во внутренних точках области интегрирования (z^,Zq)

должны быть равны значениям на левом конце, то функции на участках, следующих за первым (обозначаемые теми же буквами, но со значком «крышечка» сверху), вычисляются по формулам

Учитывая также, что должно выполняться условие KF^(zq) = 1 , функции на всехучастках надо еще умножить на нормировочный коэффициент

Выполнив дифференцирование по z, можно получить плотность функции распределения f(z) и затем, используя формулы (6.3) и (6.4), получить формулы математического ожидания М^ и дисперсии случайной величины (р. Однако они оказываются весьма громоздкими. Для упрощения этих формул представим функцию F(z) в линейном приближении. Основанием для этого служит то, что область определения функции F(z) составляет пять участков, а также то, что коэффициенты при нелинейных слагаемых весьма малы, так что этими слагаемыми можно пренебречь. Линейную аппроксимацию целесообразно выполнить на основе значений функции F(z) на концах участков. В этом случае получаем следующие выражения для функции распределения, обозначаемой F(z) :

Дифференцируя функцию распределения, получаем выражения для плотности функции распределения:

ременной z • Для нормировкивводим в эту функцию слагаемые AZj и коэффициенты определяемые условиями

Функция также не

нормирована. Поскольку эта функция представляется в пяти видах, соответствующих отрезкам изменения переменной z, то для нормировки функции Fz(y) вводим слагаемые Ay;- и коэффициенты Ку., определяемые условиями

Подставляя в формулы (6.3) и (6.4), получаем выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины :

Рассмотрим теперь вариант, когда элементарные случайные величины распределены по нормальному закону. До этапа определения функции и плотности распределения f(u) процедуры полностью совпадают с предыдущим случаем. На данном этапе нужно найти распределение величины . Поскольку законы распределения величин и и v различны, сначала определим функцию распределения величины z, а затем дифференцированием найдем плотность распределения. Поскольку область определения функции f(u) конечна, а функции f(v) — бесконечна, то функцию распределения величины

определим в виде

, где q — математическое ожидание случайной величины v = q + q . Подставляя функции f(v) и f(u) в F(z), получаем

Для упрощения интегрирования разложим функцию f(v) в степенной ряд в точке v = q , ограничиваясь двумя членами:

Интегрирование этого слагаемого будем проводить на отрезке положительной определенности этой функции (v_,v+), где Тогда формула для F(z) примет вид:

После интегрирования получаем где

но не нормирована. Для

нормировки вводим слагаемое AF7 икоэффициент К7, которые находятся из условий Функция

F(z) используется для определения плотности распределения f(z), а также непосредственно в формулах Му и Dy как функция переменной у. В этом качестве она также должна быть нормирована. Для нормировки вводим слагаемое AF7V и коэффициент K7V, которые находятся из условий

Плотность функции распределения f(z) находим дифференцированием функции распределения F(z)

Зная распределения случайных величин z и у, можно, как и раньше, определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины = min(z, у) по формулам (6.3) и (6.4). Чтобы выполнить интегрирование в элементарных функциях, как и раньше, нормальную плотность распределения случайной величины у разложим в ряд Тейлора в точке 0, оставив два члена (6.7), а функцию распределения представим в виде (6.6). Ввиду приближенности представления функции f(y) интегрирование проводим на отрезке положительной

определенности этой функции (у_,у_^, где

В итоге получаем следующие формулы Mz, Му и Dz, Dy:

После интегрирования формулы принимают вид где

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы