Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Финансы arrow Комплекс оптимизационных и имитационных моделей для исследования реализации предприятиями инвестиционных производственных проектов

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ — ВТОРОЙ АЛГОРИТМ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Рассмотрим теперь второй алгоритм для вычисления показателя выпуска продукции. В этом алгоритме выражение для вычисления показателя выпуска продукции записывается в виде:

Это выражение отличается от предыдущего включением в правую часть третьей компоненты, выражающей ограничение на расход материалов и комплектующих. В стохастической интерпретации выпуск продукции может изменяться наряду с изменением количества занятых работников и производственных мощностей линий по производству продукции также при изменении расхода исходных материалов и комплектующих.

Эта компонента включает переменные, которые будем также считать случайными в пределах заданных границ. Зависимость этих переменных как функцию времени (двух соседних точек) можно записать в виде неслучайного слагаемого и случайного приращения:

где DVL (I, t -1) — среднее значение расхода материалов, расходуемых на производство изделия / на отрезке времени перед точкой t;

ADVL(l,t) — случайное изменение расхода материалов на производство изделия / на отрезке времени после точки t;

ptmatsum (!) — среднее значение доли материалов, расходуемых на производство изделия /;

Aptmatsum(l) — случайное изменение доли материалов, расходуемых на производство изделия /.

Как и в первом алгоритме первое слагаемое в этой сумме представляет собой неслучайную величину, а второе — случайную. Поэтому для определения переходной функции процесса Маркова величины DXL(l,t) требуется вычислить переходную функцию только второго слагаемого.

Подставляя выражения для случайных величин DVL(t,l) и ptmatsum(l), а также аналогичные выражения для других случайных величин в формулу для вычисления выпуска продукции DXL(l,t), поеле преобразований, делая те же допущения для случайных величин, что и в первом алгоритме, получаем аналогичное рекуррентное выражение процесса Маркова для второго алгоритма:

где

Переменные z и у обозначают те же случайные величины, что и в первом алгоритме.

Положим, что случайные величины z, У и х независимы. Тогда плотность распределения случайной величины записывается в виде [185]

где fz, fy, fx — плотности распределения случайных величин z, У их; Fz,Fy,Fx — функции распределения случайных величин z, У и х. Функции и плотности случайных величин z и у были найдены в первом алгоритме. Во втором алгоритме остается только найти выражения для плотности и функции распределения случайной величины х. Рассмотрим сначала случай равномерного распределения элементарных случайных величин, входящих в величину х- Функция распределения случайной величины х определяется по формуле [184]

Область интегрирования Gx представляет собой часть прямоугольника, отсекаемого прямой . Будем считать, что переменная

s является осью ординат, a q — осью абсцисс. Поскольку Aptmatsum(l) мало по сравнению с ptmatsum (!) , то прямоугольник лежит выше оси абсцисс симметрично оси ординат со сторонами по оси ординат s, равными отрезку (s_,s+J, а по оси абсцисс q

отрезку (q~,q,). При увеличении х прямая х = — вращается по часо- + s вой стрелке. Отсекаемая этой прямой часть прямоугольника находится в 4-м квадранте слева и ниже, а в 1-м квадранте слева и выше этой

прямой. При вращении прямой х = — по часовой стрелке, начиная с

s

пересечения левого нижнего угла прямоугольника до пересечения его правого нижнего угла, область интегрирования разделяется на участки с точками по переменной z, которые зависят от соотношения величин отрезков As = s+- S- и Aq = q+-q_. Ниже представлены

точки участков разбиения по переменной х в случае, если As много меньше Aq :

Функция F(x) на этих участках имеет вид

1) при

2) при

3) при

4) при где

5) при

п

где

Функции f(s) и f(q) имеют вид . Взяв интегралы, получаем

Поскольку функции распределения на отрезках ,х^) и (х^,х^)

тождественны, то будем рассматривать три отрезка изменения случайной величины х(ХрХ2), 24) и (х^,Xij), обозначив соответственно значения функции распределения на них как ), F2M и Fg(x). Учитывая, что должно выполняться условие = 1,

функцию распределения на всех участках надо умножить на нормировочный коэффициент Плотность функции распределения находим дифференцированием функции распределения:

Математическое ожидание М и дисперсия случайной величины вычисляются по формулам и

,где

При вычислении Mz функция FXJ(z) должна быть нормирована по переменной z • Для этого вводим слагаемые Az^ и коэффициенты Kzjj, / = 1,5 ,j = 1,3 , определяемые из условий

При вычислении Му функция Fх.(у) должна быть нормирована по переменной у. Для этого вводим слагаемые Лу ? и коэффициенты

При вычислении М х функции 1-Fy(x) и Fz.(x) должны быть нормированы по переменной х ? Для этого вводим слагаемые Дх^ и Axj и коэффициенты ^Х/у и ^xj, j = 1,3, определяемые из условий

Взяв интегралы, получаем

Выражения для величин под знаками суммирования весьма громоздки и приведены в монографии [238].

Рассмотрим теперь случай нормального распределения элементарных случайных величин, входящих в величину х ? В этом случае плотности функции случайных величин q и s записываются в виде

где s = ptmatsum(l).

Сначала определим функцию распределения, а затем дифференцированием этой функции получим плотность распределения величины х. Учитывая, что случайные величины q и s независимы, функцию распределения F(x) можно определить по формуле [185]

Подставив в это выражение функций f(q) и f(s) , получаем

Чтобы взять интеграл в элементарных функциях, подставим вместо функции логистическую функцию. Допустим, что разброс

случайной величины х так относительно мал, что логистическую функцию можно представить в линейном приближении. Тогда запишем функцию в виде разложения

где

После взятия интеграла получаем где

Поскольку функция распределения не может быть больше 1 и меньше 0, то из этих условий получаем границы отрезка изменения

переменной

Плотность функции распределения f(x) равна Кх. Математическое ожидание М^ и дисперсия случайной величины в случае

нормального распределения элементарных случайных величин также вычисляются по формулам ,

где

Функции Fx(z) и Fx(y) должны быть нормированы по переменным z и у, а функции Fz(x) и Fy(x) — по переменной х• Для этого вводим в эти функции слагаемые AFXZ и ^Ху и коэффициенты Kzx, Кух, Kxz и К ху , определяемые из условий

После этого получаем выражения Mz , Му, М х , Dz, Dy и Dx :

Взяв интегралы, получаем конкретные формулы для вычисления величин Mz, Му, М х, Dz, Dy и Dx, которые имеют достаточно

громоздкий вид и приведены в монографии [238].

Рассмотрим теперь обратную задачу, в которой выходным показателем является количество занятых работников на предприятии — величина РЦ1, t) , вычисляемая по формуле

Безусловно предполагается, что задаваемая функция объема производства не превышает мощность по производству этой продукции. Тогда величину РЦ1, t) следует записать в виде

В стохастической интерпретации эта величина будет функцией случайных величин, входящих в ее состав, а именно DXL(l,t), ptearsum(l), ear(l) и MXL(l,t). Эти величины можно представить в виде неслучайного слагаемого и случайного приращения:

где DXL(l,t) — средний выпуск изделия / на отрезке времени перед точкой t;

ADXL(l,t) — случайное изменение выпуска изделия / на отрезке времени после точки t;

ptearsum (!) — среднее значение доли цеховых расходов на заработную плату от общих цеховых расходов при выпуске изделия /;

Aptearsum(l) — случайное изменение доли цеховых расходов на заработную плату от общих цеховых расходов при выпуске изделия /;

еаг(1) — среднее значение заработной платы на одного цехового работника;

Аеаг(1) — случайное изменение заработной платы на одного цехового работника;

MXL (I, t) — производственные мощности по выпуску изделия / на отрезке времени перед точкой t.

Выражение PL(I, t) можно представить в виде

Рассмотрим сначала величину Подставляя выражения для

случайных величин DXL(l,t), ptearsum(I) и ear(l) в величину PLj(l,t), получаем

Все слагаемое представляют собой случайные величины. Однако в первом слагаемом случайной является только элементарная случайная величина Аеаг(1). Положим, как и раньше, что случайные отклонения малы по сравнению со средней величиной и пренебрежем этой величиной в знаменателе первого слагаемого. Тогда только второе и третье слагаемые будут случайными величинами.

Выражение для величины PL^fl.t) имеет тот же вид с тем различием, что вместо случайной величины DXL(l,t) в ней стоит величина MXL(I, t) ? Поэтому для определения переходной функции процесса Маркова требуется вычислить переходные функции второго и третьего слагаемых. Второе слагаемое включает сумму случайных переменных, а третье слагаемое — произведение случайных переменных. В итоге получаем, что процесс Маркова в обратной задаче представляет собой сложную случайную функцию в виде минимума двух случайных переменных, каждая из которых состоит из суммы и произведения элементарных случайных переменных. Алгоритм расчета функции, плотности распределения, математического ожидания и дисперсии такого вида случайной величины изложен в параграфе 6.1.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 
Популярные страницы