Методика анализа способов оценки параметров пассивных линейных двухполюсных цепей

Сопоставление и выбор способов оценки параметров пассивных линейных двухполюсных цепей, включающих в себя способы преобразования параметров контролируемой цепи в активную величину и способы последующей обработки этих величин, удобно производить на основе анализа распределения погрешностей оценки зоны допустимых значений параметров по диапазону значений. Такой анализ позволяет рационально определить соотношения между погрешностями и границами поддиапазонов, внутри которых значения параметров калиброванного элемента Z0 постоянно. В зависимости от конкретно решаемой задачи возможно применение разных вариантов определения погрешностей. Общей базой для определения погрешностей служит теория чувствительности.

Влияние оцениваемого параметра х. на параметр ах (ах— амплитуда, начальная фаза, активная или реактивная составляющая, мгновенное или эффективное значение) сигнала реакции Ax(Zx, Z , t) ИС на приложенное воздействие A0(t) можно найти путем разложения зависимости Ax(Zx, Z , t) в ряд Тейлора. Абсолютная погрешность Ах. оценки параметра х., вызванная абсолютными погрешностями Дах оценки параметров реакции, рассчитывается как

При оценке параметров, характеризующих рассеиваемую в ДЭЦ мощность и имеющих размерность сопротивления, проводимости, емкости или индуктивности (к таким параметрам относятся модуль z, активная ReZ и реактивная ImZ составляющие иммитанса и R, L, С параметры элементов ДЭЦ), удобно вместо абсолютных значений использовать зависимость относительной погрешности 5х^ = Axt / х? от относительной погрешности 5ах = Аах /ах оценки параметра интенсивности сигнала реакции:

При оценке параметра х. по сдвигу фазы ф напряжения реакции Ax(Zx, Z , t) относительно сигнала воздействия A {t) правильнее определять зависимость относительной погрешности

5х. от абсолютной погрешности Лср^. определения сдвига фазы, так как мера фазы по своей физической сущности является относительной величиной (радиан — отношение охватываемой углом дуги окружности к радиусу):

По аналогичной причине результат оценки аргумента им- митанса (рх целесообразно характеризовать абсолютной погрешностью:

При расчетах с достаточной для практики точностью в выражениях (6.3)-(6.7) можно ограничиться старшим, не равным нулю, членом разложения.

Таким образом, погрешность оценки параметра х. может быть найдена по формулам (6.3)-(6.7) как произведение погрешности оценки параметра ах реакции на соответствующий весовой коэффициент Кх а . Весовой коэффициент представляет собой величину, обратную чувствительности параметра напряжения реакции ИС к оцениваемому параметру иммитанса

Результатом оценки значения иммитанса Zx служат два параметра (см. выражение 5.1), отражающие положение изображающей Zx точки на комплексной плоскости. Принято характеризовать этот результат скалярными погрешностями (абсолютными, относительными или приведенными) определения каждого из параметров. Выбор вида погрешности произволен и определяется различными нормативными документами, областью применения аппаратуры и другими факторами, включая субъективные качества разработчика аппаратуры. Такая ситуация затрудняет сопоставление результатов, полученных приборами, оценивающими различные пары параметров.

Для сопоставления результатов необходима характеристика погрешностей, которая учитывала бы неопределенность положения точки, изображающей Zx на комплексной плоскости, и в то же время была сопоставима с погрешностью оценки отдельного параметра. Такая характеристика может быть получена при введении понятия комплексной погрешности.

Абсолютную комплексную погрешность AZX оценки Zx можно представить в виде вектора разности между истинным значением Zx и значением Zx, полученным в результате измерительного эксперимента

При анализе измерительных схем под Zx следует понимать идеальную функцию преобразования, а под Zx — реальную.

Возможные пределы изменения положения конца вектора AZX на комплексной плоскости могут быть изображены некоторой областью погрешности. При оценке Zx с погрешностью, не превышающей AZX, координаты точки, изображающей Zx, неопределенны внутри этой области. Очевидно, что погрешность AZX не изменяется при преобразовании системы координат. Следовательно, векторная погрешность служит однозначной характеристикой измерительного процесса и производящего его устройства.

Для получения относительной комплексной погрешности 5ZX рассмотрим разложение в ряд Тейлора выражения для Zx в полярной системе координат:

После перехода к относительным величинам, получим

Таким образом, в полярной системе координат относительная комплексная погрешность может быть определена через две скалярные составляющие — относительную погрешность §z - l оценки модуля и абсолютную погрешность Дф оценки

аргумента. Этот результат подтверждает справедливость выражений (6.5) и (6.7).

В прямоугольной системе координат аналогично находим

После перехода к модулям погрешностей оценки составляющих Zx получим, что для оценки результатов должны использовать абсолютные погрешности измерения составляющих, приведенные к значению модуля:

В дальнейшем эти погрешности будем называть просто приведенными.

Для случая оценки реактивной составляющей и потерь, или добротности, имеем:

После перехода к модулям погрешностей получим, что для оценки результата можно рекомендовать:

- относительную погрешность при измерении реактивной составляющей Zx,

  • - абсолютную погрешность Atgx при измерении малых потерь (tgx «1);
  • - относительную погрешность при измере

нии больших потерь (tg(|)x » 1);

- относительную погрешность при измерении

малых значений добротности;

- относительную погрешность, деленную на значение добротности -, при измерении больших значений добротности.

Конфигурация области погрешности зависит от выбора системы координат. При оценке модуля и аргумента иммитанса она имеет форму части сектора с центральным углом Дф (рисунок 6.5, а), а при оценке активной и реактивной составляющих — прямоугольника со сторонами AReZx и AImZx (рисунок 6.5, б). Сопоставление погрешности оценки Zx в различных системах координат возможно путем сравнения площади S. области погрешности. Эта площадь может служить совокупной скалярной характеристикой абсолютной комплексной погрешности.

Площадь области погрешности в системе координат 2 и ср равна: — Конфигурации области погрешности

Рисунок 6.5 — Конфигурации области погрешности

В соответствии с выводами, полученными при анализе выражения (6.11), относительную оценку S& {z, ср) погрешности можно представить в виде:

С целью получения численного значения погрешности, сопоставимого с погрешностью измерения одномерной величины, удобнее S8 (z, ф) считать квадратом относительной комплексной погрешности

Для обеспечения возможности сопоставления совокупной характеристики комплексной погрешности при различных сочетаниях пар оцениваемых величин во всех вариантах следует использовать отношение площади области погрешности к квадрату модуля. Это единственный вариант, при котором полученная относительная погрешности независима по отношению к преобразованию системы координат.

Например, при измерении в координатах ReZ и ImZ комплексную погрешность следует искать в виде:

что совпадает с выводами из выражения (6.13).

Выражения (6.18) и (6.19) позволяют сделать вывод о том, что при проектировании аппаратуры для оценки параметров иммитанса целесообразно стремиться к получению примерно равных численных значений погрешностей оценки отдельных параметров Ъх Приведенные соображения целесообразно учитывать при сопоставлении метрологических характеристик аппаратуры подобного назначения.

Рассмотрим применение полученных выводов в некоторых частных случаях. При оценке иммитанса с небольшой реактивностью, например комплексного сопротивления резисторов когда и модуль сопротивления ; , общая относительная погрешность определяется

относительной погрешностью оценки ReZx:

а погрешность оценки реактивной составляющей — абсолютной погрешностью оценки аргумента сопротивления Д<р .

При оценке конденсаторов, характеризуемых емкостью Сх и тангенсом угла потерь tgcj^ «1, при последовательной схеме замещения измеряемое сопротивление равно Zx = Re Zx (tg фх + j). Для комплексной погрешности можно записать

Отсюда погрешность измерения емкости равна , а погрешность измерения угла потерь

Таким образом, погрешности оценки параметров иммитан- са рассчитываются по формулам (6.5)-(6.15) как произведение погрешности измерения параметра реакции ИС Ax(Zx, Z , t) на соответствующий весовой коэффициент.

При выборе способов обработки выходных сигналов ИС на первом этапе целесообразно ввести допущение, что погрешности оценки всех параметров реакции равны между собой. Это предположение при соответствующем выборе методов оценки параметров реакции близко к истине. Исходя из принятого допущения, для сопоставления и выбора методов достаточно проанализировать распределение значений весовых коэффициентов, рассчитанных по формулам (6.4)—(6.7), по диапазону оцениваемых значений Zx. В дальнейшем при расчете погрешностей оценки Zx должны быть учтены реальные значения погрешностей оценки соответствующих параметров реакции.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >