Способы программного определения информационных параметров сигналов

Определение всех параметров гармонического сигнала при известной частоте, в принципе, возможно по двум отсчетам. Дискретные значения гармонического напряжения u(t) в моменты цифрового измерения можно представить в виде

где — отношение общего времени измерения Ти к

периоду Т напряжения u(t) частотой /;

— шаг дискретизации;

N — общее количество измерений;

i = 0,1,IV - 1 — порядковый номер измерения;

Ф0 — фаза u(t) в момент первого измерения при i = 0.

Вследствие влияния шумов значения отсчетов u(i) отличаются от мгновенных значений напряжений, описываемых выражением (6.20). При использовании d-разрядного АЦП с двоичным шагом квантования значения отсчетов можно представить в виде

где е(г) — значения аддитивного белого шума с дисперсией ае в моменты отсчетов;

round{x} — ближайшее целое х.

С помощью функции round{x} учитываются погрешность и шумы квантования АЦП при условии, что значение амплитуды измеряемого напряжения и(г) не выходит за пределы рабочего диапазона АЦП. В качестве иллюстрации ниже приведены взятые за время одного периода девять значений (IV = 9, n = 1, ср0 = 0,2л, U = 0,1): напряжения u(i); отсчетов u(i) этого напряжения 10-разрядным АЦП в отсутствии шума; напряжения и^г) = и(г) + е(г) с нормальным аддитивным шумом при отношении сигнал-шум ; результатов аналого-цифрового

преобразования этого напряжения щ(г), а на рисунке 6.19 для ста отсчетов показаны абсолютные погрешности, вызванные влиянием квантования и белого шума и определенные, соответственно, как иДг) - щ({) и и{г) - их{г).

По двум отсчетам w(0) и д(1) с заданным сдвигом фаз Ф = 2лп между ними параметры напряжения находят их решения системы уравнений

180

— Влияние шума на результаты аналого-цифрового преобразования

Рисунок 6.19 — Влияние шума на результаты аналого-цифрового преобразования

С учетом физических соображений формулы для расчета амплитуды и фазы ф(0) измеряемого напряжения имеют вид

В случае применения 12-разрядного АЦП минимальная погрешность измерения обеспечивается, если фазовый сдвиг между отсчетами задан в пределах 1,2 < ф[рад] < 1,6. Погрешность измерения не зависит от начальной фазы сигнала и в худшем случае, когда амплитуда напряжения U = 0,1 соответствует нижнему пределу рабочего диапазона АЦП, не превосходит по амплитуде ±0,15%, а по фазе ±0,0015 рад. Относительные погрешности измерения активной и реактивной составляющих напряжения возрастают, соответственно, при ф0 > 1,4 рад и ф0 < 0,2 рад.

Отношение дисперсии шума о, к дисперсии результатов измерения примерно равно единице. Таким образом, шум входит полным весом в погрешность измерения. Для отношения

сигнал-шум погрешность АЦП доминирует при числе разрядов d < 12. С увеличением разрядности АЦП влияние шума начинает превалировать.

Повышения помехоустойчивости можно достичь при определении параметров напряжения по интегральным отсчетам, полученным путем суммирования результатов измерения отдельных мгновенных значений. С этой же целью можно проводить усреднение результатов измерения амплитуд и фаз напряжений, полученных в течение определенного времени.

В первом случае возможности повышения помехоустойчивости ограничены. При сдвиге фаз между отсчетами ф = 0,5 п, частоте напряжения 1 кГц и быстродействии АЦП 200000 измерений в секунду для усреднения может быть использовано примерно 45 результатов. То есть можно ожидать уменьшения влияния шума примерно в 6-7 раз. Во втором случае подавление шума зависит от общей длительности измерения. Во всех вариантах теряется основное достоинство метода — возможность измерения за время, меньшее одного периода напряжения.

Применение метода наименьших квадратов (МНК) в переопределенном случае, когда число отсчетов превышает минимально необходимое для расчета параметров, позволяет уменьшить случайную погрешность измерения. В МНК проводят аппроксимацию временного ряда u(i) экспериментально полученных значений функцией й(г), параметры которой подбираются таким образом, чтобы минимизировать действительную сумму квадратичных ошибок е2 аппроксимации по всем отсчетам

Наиболее естественно аппроксимировать отсчеты гармонического сигнала синусно-косинусными функциями. Аппроксимирующую функцию можно представить в прямоугольной или полярной системе координат. В первом случае по параметрам аппроксимирующей функции определяют значения ортогональных составляющих измеряемого напряжения. Во втором случае непосредственно находят его амплитуду и фазу.

Аппроксимирующую функцию в ортогональной системе координат представляют в виде суммы действительных значений синусной и косинусной компонент

где коэффициенты А и В рассчитывают по формулам

Если отсчет начальной фазы производится от момента первого измерения при г = 0, то эти коэффициенты по существу представляют собой активную и реактивную составляющие измеряемого напряжения и являются искомыми результатами измерения. По ним можно рассчитать амплитуду и начальную фазу аппроксимирующего колебания:

Минимальную погрешность измерения обеспечивает равенство целому числу отношения п времени измерения к периоду измеряемого напряжения. С увеличением длительности наблюдения необходимость обеспечения целого числа периодов становится менее острой, даже если количество отсчетов при этом не увеличивают. Погрешности измерения амплитуды и начальной фазы напряжения практически не зависят от начальной фазы измеряемого напряжения. Их значения в отсутствии шумовой помехи при 12-разрядном АЦП не превосходят для измерения амплитуды 0,025%, а фазы — 0,00025 рад.

Относительные погрешности измерения активной Ы1еи и реактивной 5Imu составляющих напряжения резко возрастают на краях диапазона значений фаз, когда собственные значения этих составляющих стремятся к нулю: для активной составляющей при (р0 > 1,35 рад, а для реактивной при ср0 > 0,1 рад.

В нашей задаче начальные фазы напряжений могут изменяться от нуля, если Ъх представляет собой чисто активное сопротивление, до 1,47 рад при чисто реактивном характере Zx, отличающемся в десять раз по значению от сопротивления KQ. В связи с этим нецелесообразно при использовании МНК выбирать для измерения иммитансов, характер сопротивления которых близок к активному, в качестве одного из расчетных параметров напряжения реактивную составляющую, а для им- педансов реактивного характера — активную.

Подавление нормального шума зависит от числа отсчетов. При частоте напряжения 1 кГц и быстродействии АЦП 200000 измерений в секунду за время одного периода может быть получено 200 отсчетов. Коэффициент подавления шума (отношение дисперсии шума а к дисперсии результатов измерения) составляет примерно и равен 10 при 200 отсчетах

и 7 — при 100. Для отношения сигнал-шум погрешность

АЦП доминирует при числе разрядов d < 12. С увеличением разрядности АЦП влияние шума начинает превалировать. Увеличение коэффициента подавления шума может быть получено за счет увеличения числа периодов напряжения, во время которых происходит измерение.

Рассмотренный способ измерения можно применять, если существует взаимная синхронизация АЦП и ЦАП. При асинхронной работе необходимо одновременное измерение фазы напряжения u0(t) в момент первого измерения при i = 0. Фазовый сдвиг напряжений u(t) и u0(t) находят как разность их фаз при i = 0. Соответственно рассчитывают активную и реактивную составляющие напряжения u(t).

В варианте с одновременным измерением напряжений u(t) и u0(t) отсчеты u0(t) можно использовать для аппроксимации напряжения u(t). Амплитуда напряжения u(t) для гармонического сигнала рассчитывается через среднеквадратичное значение:

Отношение мгновенных значений напряжения воздействия u0(t) к его амплитуде UQ несет информацию о текущем значении фазы uQ(t) в моменты отсчетов:

Учитывая это, активная ReU и реактивная ImU составляющие напряжения u(t) можно рассчитать как

В полярной системе координат для нашего случая действительных отсчетов аппроксимирующую функцию можно представить в виде

где — комплексно-сопряженные амплитуды, представляющие собой независимый от времени параметр;

z0 =zj = exp(j27i/At) — комплексно-сопряженные экспоненты, которые описывают параметр, зависящий от времени (звездочка * обозначает комплексное сопряжение).

Решение задачи сводится к нахождению комплексной амплитуды hx из системы уравнений, составленной с использованием процедуры МНК:

Затем рассчитываются амплитуды и начальные фазы аппроксимирующего колебания:

Оценку погрешностей косвенного измерения параметров напряжений путем аппроксимации мгновенных значений достаточно сложно провести аналитически. В данном разделе такая оценка была произведена методом математического моделирования в среде MATHCAD. Отдельно варьировались значения каждого их факторов, и анализировались полученные при этом результаты.

В качестве примера на рисунке 6.20 приведена MATHCAD- программа для анализа влияния числа отсчетов N на погрешности измерения U и ф(0) при аппроксимации отсчетов экспоненциальными функциями. В силу особенностей синтаксиса системы MATHCAD отдельные обозначения в программе не совпадают с принятыми в основном тексте. В программе: —

отсчеты, и — результаты измерения амплитуды и начальной фазы, к — варьирующий коэффициент.

Влияние остальных факторов так же оценено с помощью программы при приравнивании к к значения параметра, влияние которого анализировалось. Результаты моделирования представлены на рисунке 6.21.

— MATHCAD-программа для анализа метода измерения

Рисунок 6.20 — MATHCAD-программа для анализа метода измерения

— Результаты моделирования метода измерения

Рисунок 6.21 — Результаты моделирования метода измерения

На графиках погрешность измерения фазы Лер дана в радианах, умноженных на 100, а остальные погрешности — в процентах. Вверху каждого рисунка указаны значения постоянных величин, при которых зависимости получены. Для этого использованы обозначения, принятые в основном тексте.

На рисунке 6.21, а показано влияние числа отсчетов сигнала N, используемых для аппроксимации. На рисунке 6.21,6 показано влияние отношения п общего времени измерения к периоду напряжения u(t). На рисунке 6.21, в показано влияние разрядов АЦП, а на рисунке 6.21, г — влияние относительного отклонения частоты сигнала от заданного априори значения 8/.

Аппроксимация экспоненциальными функциями в значительной степени сглаживает недостатки ранее рассмотренных методов, а их преимущества аккумулирует. Анализ зависимостей, приведенных на рисунке 6.21, позволяет оценить погрешности измерения. При отсутствии белого шума погрешность измерения не зависит от отношения п времени измерения к длительности периода сигнала. Измерение возможно при числе отсчетов N > 3. При шуме зависимость погрешности от продолжительности измерения проявляется. Тем не менее возможно проведение измерения за время, меньшее одного периода, как и при измерении по двум отсчетам. Отпадает необходимость обеспечения кратности времени измерения целому числу периодов сигнала. При использовании 50 отсчетов 10-разрядного АЦП погрешность измерения амплитуды не превышает 0,1%, а начальной фазы — 0,001 рад, если время измерения составляет неменее одного периода сигнала, а отношение сигнал-шум . Коэффициент подавления нормального шума вдвое выше по сравнению с предшествующим методом и составляет

Особое внимание при применении метода следует обратить на точность задания частоты сигнала. В случае отклонения фактического значения частоты от заданного в пределах ±0,001% погрешность измерения фазы достигает 0,005 рад. На погрешности измерения амплитуды отклонение частоты сказывается мало.

Аппроксимация экспоненциальными функциями может быть использована для оценки амплитудно-фазовых частотных характеристик компонентов печатного узла. По характеристикам можно рассчитать параметры элементов многоэлементных двухполюсных цепей путем решения системы уравнений, связывающих результаты измерения иммитан- са на нескольких частотах воздействия u0(t) с параметрами элементов, образующих диагностируемую цепь. Возможны два варианта решения задачи, отличающиеся способом задания u0(t).

В первом варианте используется uQ(t), представляющее собой сумму нескольких гармонических колебаний заданных частот:

Параметры гармонических компонент реакции объекта диагностирования на воздействие определяются аналогично выше рассмотренному случаю измерения параметров синусоидального сигнала известной частоты. Количество уравнений в системе (6.21) возрастает и равно удвоенному числу р гармонических составляющих тестового воздействия:

Решение системы уравнений (6.23) в матричной форме имеет вид

где верхний индекс Я означает комплексно сопряженную транспозицию матрицы, а произведение (ZHZ) имеет вид Эрмитовой матрицы (р х р), обладающей свойством комплексно-сопряженной симметрии;

— вектор отсчетов размерности ;

— матрица Вандермонда размерности (N х р), представляющая комплексные экспоненты.

По корням hm этой системы уравнений рассчитываются амплитуды и начальные фазы аппроксимирующих колебаний согласно формулам (6.22 и 6.23), в которых индекс h принимает значения от 1 до т.

Измерение может быть произведено за время одного периода напряжения uQ(t), если быстродействие АЦП обеспечивает получение необходимого для заданной точности числа отсчетов. Погрешности измерения мало зависят от количества гармонических компонент сигнала и соотношения их частот. Число используемых гармоник зависит от существующих физических ограничений на максимальное значение напряжения uQ(t). При заданном максимальном значении u0(t) с увеличением количества гармоник амплитуда каждой из них должна быть уменьшена. Отношение сигнал-шум для каждой гармоники также уменьшается, и погрешность измерения возрастает.

Во втором варианте используется квазигармоническое колебание, длительность соседних периодов которого изменяется по заданному закону. В каждом периоде производится измерение параметров реакции объекта диагностирования на соответствующей частоте воздействия с использованием выражений (6.21) и (6.22). Расширение частотного диапазона при этом не приводит к ухудшению соотношения между сигналом и шумом. Однако время измерения прямо пропорционально ширине диапазона частот. Погрешность измерения полностью соответствует указанной ранее.

Контрольные вопросы

  • 1. Как классифицируются измерительные схемы для контроля иммитанса по виду функции преобразования?
  • 2. Какие причины вызывают появление методической погрешности допускового контроля параметров иммитанса при использовании пассивной измерительной схемы?
  • 3. На какие основные этапы можно разбить контроль параметров иммитанса при использовании программных методов обработки отсчетов сигналов?
  • 4. Какой метод аппроксимации отсчетов сигнала характеризуется наибольшим коэффициентом подавления белого шума?
  • 5. В чем сущность метода наименьших квадратов?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >