Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (х, у, z) и времени t:

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и относительно координат (волна — это распространяющееся колебание, следовательно, периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии X, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции ^ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости х = 0, имеет вид (при начальной фазе <р = 0):

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Чтобы пройти путь х, необходимо время т = x/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости х будут о т- ставать по времени на т от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е.

Это уравнение плоской волны (см. рис. 2.4.3, а).

Таким образом, ? есть смещение любой из точек с координатой х в момент времени /. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания А = const. Она будет постоянной, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси у или Z-

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся по радиусу-вектору г, записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) — это уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое числоили в векторной форме , где к — волновой

вектор; п — нормаль к волновой поверхности. Так как X = vT, то

Отсюда Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Уравнение сферической волны

В случае когда скорость волны и во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической (см. рис. 2.4.3, б). Предположим, что фаза колебаний источника равна со/ (т.е. <р0 = 0). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса г, будут

иметь фазу Амплитуда колебаний здесь, даже если волна

не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны

где А равна амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

Уравнение (2.4.8) неприменимо для малых г, так как при г —»0 амплитуда стремится к бесконечности (А —> °°). То, что амплитуда колебаний следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >