НОВЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ БЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

Новые методы аппроксимации кусочно-линейных функций в задачах математического моделирования инерционных бесступенчатых передач

В этом параграфе рассматриваются новые методы аппроксимации кусочно-линейных, в частности, ступенчатых функций, разработанные автором [107-112]. Эти методы являются универсальными и находят широкое применение для решения самых разнообразных задач, связанных с математическим моделированием систем, процессов и явлений, описываемых с помощью кусочно-линейных функций, имеющих переменную структуру, в частности, в задачах моделирования инерционных бесступенчатых передач. Проводится сравнительный анализ предложенных и существующих методов аппроксимации таких функций аналитическими зависимостями на основе рядов Фурье. Кроме того, изучаются вопросы сходимости и погрешности предложенных методов, рассматриваются примеры и приложения.

Кусочно-линейные функции широко применяются в различных областях научных исследований. Традиционными областями их применения являются технические и математические дисциплины, например, теория автоматического управления, электротехника, радиотехника, теория информации и передачи сигналов, уравнения математической физики, теория колебаний, дифференциальные уравнения и многие другие [142-146]. С помощью таких функций, например, описывают ударные воздействия, динамику механических систем с нелинейными упругостями, упруго-диссипативные характеристики подвесок транспортных средств, системы с нагрузками типа «сухое трение» и другие процессы.

Широкое применение кусочно-линейных функций объясняется простотой их структуры, особенно по участкам. На каждом участке эти функции представляют собой прямые линии и их отрезки, что позволяет во многих случаях получать решения, пользуясь методами теории линейных систем. Вместе с тем, часто возникают проблемы при построении решений на всей области определения кусочно-линейной функций, увязки решений по участкам с необходимостью применения специальных математических методов. Системы с кусочно-линейными характеристиками и функциями относят к существенно-нелинейным структурам, подчеркивая сложность получения решений для таких структур. Несмотря на простоту кусочно-линейных функций по участкам, построение решений в задачах с кусочно-линейными функциями на всей области определения требует применения специальных математических методов, например, метода припасовывания [147] с необходимостью согласования решений по участкам и поверхностям переключений. Так, при построении периодических решений необходимо следить за выполнением условий перехода системы с участка на участок, фиксируя значения переменных в конце предыдущего участка и принимая эти значения за начальные условия для следующего участка. При этом значения переменных в конце всего цикла исследуемого процесса должны совпадать со значениями тех же переменных в начале цикла. Необходимость согласования значений переменных по участкам и в начале и конце цикла приводит к громоздкой системе трансцендентных уравнений. Поэтому применение метода припасовывания, как правило, требует преодоления значительных математических трудностей, причем, даже если периодическое решение и удается найти в аналитической форме, оно, как правило, получается в виде сложных выражений.

Для упрощения расчетов, работая с кусочно-линейными функциями, во многих случаях прибегают к методам аппроксимации. Замена кусочно-линейных функций аналитическими зависимостями позволяет не заботиться об отслеживании и согласовании значений переменных процесса на границах участков, что значительно упрощает расчеты.

Одним из наиболее широко используемых методов аппроксимации кусочно-линейных функций является разложение этих функций с

помощью рядов Фурье, где

ортогональная система функций в функциональном гильбертовом пространстве В качестве

ортогональной системы часто берут тригонометрическую систему 2к — периодических функций ,sinwc,coswc;ne N .

Однако, наряду с положительными свойствами, применение рядов Фурье имеет и определенные недостатки. Например, при относительно небольшом числе слагаемых в ряде Фурье, используемых для разложения кусочно-линейных функций, аппроксимирующая функция имеет ярко выраженный волнообразный характер даже в пределах одного прямолинейного участка кусочно-линейной функции, что приводит к достаточно большой погрешности аппроксимации. На рис. 3.1 кривые 1 и 2 иллюстрируют этот недостаток.

Рис. 3.1. Погрешности аппроксимации с помощью разложения в ряд Фурье

Более того, и при большом числе слагаемых в разложении с помощью ряда Фурье существуют характерные скачки

аппроксимирующей функции в окрестности точек разрыва

0Дх_о) исходной функции. Для таких точек

, где — частичная сумма ряда

Фурье [148]. Например, для функции

с прямоугольными импульсами точка и А - целая часть числа А , является точкой максимума частичной суммы тригонометрического ряда Фурье [149], причем

. То есть величина абсолютной

погрешности , а относительная

погрешность составляет более 17% независимо от числа слагаемых в частичной сумме ряда Фурье. Заметим, что

На рис. 3.1 кривая 3 соответствует графику аппроксимирующей

функции и иллюстрирует повышенную погрешность

аппроксимации в окрестности точек разрыва исходной функции (3.1). В этом проявляется так называемый эффект Гиббса, причем с ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает, что ведет к крайне негативным последствиям использования аппроксимирующей функции. На рис. 3.2 изображен график частичной суммы S₂₀ (/о) тригонометрического ряда на отрезке [-к, п, иллюстрирующий проявление эффекта Г иббса.

Самое неприятное заключается в том, что эффект Г иббса носит общий характер, проявляется для любой функции f е L₂[a,b], имеющей ограниченную вариацию на отрезке [а, Ь], с изолированной точкой разрыва х₀ е (а, Ь). Для таких функций выполняется условие [148]

Покажем, что абсолютная А = А(х) и условная 8 = 8(х) погрешности аппроксимации в окрестности точек разрыва могут быть сколь угодно большими.

Действительно,

Функция A(d) является бесконечно большой величиной, так как

В качестве d* можно взять, например, где [А] - целая часть числа А .я

Рис.3.2. Проявление эффекта Гиббса

Для относительной погрешности доказательство

аналогично. Более того, даже при фиксированном значении d е R для любого М > 0 можно подобрать такую функцию , для

которой . В качестве такой

функции, например, можно взять функцию, у которой

Заметим, что даже на множестве непрерывных функций

ряд Фурье, как известно, еще не обязан сходиться в каждой точке.

Существование эффекта Гиббса приводит к крайне негативным последствиям использования частичной суммы тригонометрического ряда в качестве аппроксимирующей функции для решения задач математического моделирования, например, при исследовании периодических движений технических систем, искажений при передаче сигналов и т.д.

Для устранения отмеченных недостатков автором предложены новые методы аппроксимации кусочно-линейных функций, основанные так же, как и ряды Фурье, на использовании тригонометрических выражений, но в виде рекурсивных функций.

Для пояснения этих методов рассмотрим, например, более подробно ступенчатую функцию (3.1). Эта функция часто используется для примера применения рядов Фурье и поэтому данную функцию удобно взять для сравнительного анализа традиционного разложения в ряд Фурье и предложенного метода.

Разложение функции (3.1) в ряд Фурье имеет все вышеописанные недостатки. Для их устранения предлагается аппроксимировать исходную ступенчатую функцию последовательностью рекурсивных периодических функций

Графики исходной функции (утолщенная линия) и пяти ее последовательных приближений в этом случае имеют вид (рис. 3.3).

Как видим, даже при относительно небольших значениях п при использовании итерационной процедуры (3.2) график аппроксимирующей функции достаточно хорошо приближает исходную функцию (2.1). При этом аппроксимирующие функции, полученные с помощью предложенного метода, лишены недостатков разложения в ряды Фурье. Эффект Гиббса полностью отсутствует.

Отметим некоторые особенности предложенной аппроксимирующей итерационной процедуры.

Заметим, что функции /„(*) и /₀(х) являются нечетными и периодическими с периодом 2тг. Функции f_n(x+7t/ 2) и /₀(х+к/2) — периодические четные. Поэтому достаточно рассмотреть последовательность аппроксимирующих функций (3.2) на отрезке О, л:/2 .

Пусть Так как

(в силу ограниченности функций f_n (х)) и

(в силу монотонности функций f_n(x) на отрезке

[0,7Г/2]), то на основании теоремы Хелли в последовательности f_n{x) можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в каждой

точке [О, к / 2] к некоторой функции /, причем

Покажем, что в качестве такой функции / может выступать исходная функция /₀(х).

Рис. 3.3. Графики исходной функции и пяти ее последовательных аппроксимаций

Теорема 1. Последовательность функций /^(х) сходится к исходной функции /₀(.х), причем сходимость является поточечной, но не является равномерной.

Доказательство.

В точках х = 0 и х = п/ 2 имеем f_n(x)~ f₀(x) = 0,/n е N. Следовательно, в этих точках так как

Можно взять, например, п = 1.

Поскольку , то для любого

выполняется условие

Тогда

последовательность является положительной, возрастающей и ограниченной, а следовательно, имеет конечный предел, который обозначим

Получим,

А = limsin((7T / 2) • (х)) = sin((7T / 2) • lim f_n, (х)) = sin((7T / 2) • А), откуда

найдем, что А = О или А= 1. Так как последовательность является знакоположительной и возрастающей, то А = 1 = /₀(х). Тогда на рассматриваемом интервале Учитывая ранее

сделанный вывод о сходимости последовательности в точках х = 0 и х = тг/2, заключаем, что . Эта

сходимость является лишь поточечной и не является равномерной, так как функция у^(х) не является непрерывной на отрезке 0, я/2 . ?

Теорема 2. В банаховом пространстве измеримых функций Z,,[0,7r/2] и функциональном гильбертовом пространстве /^[0,77/2]

последовательность аппроксимирующих функций f_n(x) сходится по норме к исходной функции У^(х).

Доказательство.

Введем последовательность минорантных относительно последовательности f_n(x) функций

Можно

показать, что f_n (х) > Т]_п (х), /п е jV, Vx € [0, к / 2]. Заметим, что мера множества точек разрыва функции f_Q(x) равна нулю. Тогда, учитывая знаконеотрицательность и ограниченность функций /„(х) и Tj_n (х) на рассматриваемом отрезке, в пространстве /,,[0,7Г/ 2] получим

Так как , то

В качестве последовательности минорантных относительно последовательности f_n(x) функций можно взять

для которых . Заметим, что мера

множества точек разрыва функции f₀(x) равна нулю. Тогда, учитывая знаконеотрицательность и ограниченность функций f„(x) и (р_п(х) на рассматриваемом отрезке, в пространстве Ц[0, к / 2] получим

Так как , то

В функциональном гильбертовом пространстве с

метрикой имеем

Учитывая, что, получим,

и---

что и в этом пространстве

Последовательность (3.2) сходится в среднем к исходной функции (1). ?

Таким образом, последовательность аппроксимирующих функций f„(x) (2.2) в пространствах является

фундаментальной. В пространстве последовательность f„(x)

фундаментальной не является.

Функцию fi(x) назовем начальной (или угловой). В качестве начальной функции вместо синуса мы можем использовать и другую (не обязательно периодическую) функцию. Отметим, что при использовании итерационной процедуры (3.2) и при условии |/|(х)| < 2

мы получим . При этом можно аппроксимировать

любую ступенчатую функцию.

Действительно, для ступенчатой функции

возьмем начальную функцию в виде Из

условия найдем

При этих значениях коэффициентов а и b последовательность

сходится к

ступенчатой функции f{x). Тогда любую ступенчатую функцию со значениями h_f на промежутках (х_1;.,х_2;.) можно аппроксимировать

суммой аналогичных последовательностей

Доказанная теорема 2 носит общий характер, справедлива для произвольной ступенчатой функции. Так, например, произвольную периодическую ступенчатую функцию можно представить в виде

линейной комбинации сдвинутых по фазе и

по оси ординат сигнум-функций Согласно доказанной теореме, в пространствах

существует сходимость , поэтому

функция сходится по норме к функции f(x), так

как

Для оценки погрешности аппроксимации (3.2) воспользуемся соотношением (рис.3.4), где

Рис. 3.4. Графики ограничивающих функций

Функции ф_п(х) и У_п(х) построены из условия равенства производных в нуле <р' (0) = у/' (0) = f'(0), что позволяет получить узкий интервал для оценки погрешности аппроксимации.

В пространстве /ДО, я/2] оценки для абсолютной и относительной погрешности соответственно равны

Для пространства ?₂[0,7Г/2] эти оценки принимают соответственно вид

Графики верхних и нижних оценок относительной погрешности 8 в зависимости от neN для пространства LО,я/2] (кривые 1) и пространства Ь₂[О,я/2] (кривые 2) изображены на рис. 3.5.

Рассматривая аппроксимацию ступенчатой функции /(jc) (3.3), мы предполагали, что ее положение и высота точно известны. В реальных задачах параметры, как правило, заданы приближенно. Пусть, например, исходные параметры заданы с абсолютными погрешностями

где

приближенные значения параметров.

Рассмотрим ступенчатую функцию (3.3) на отрезке [с, d], для которого . В этом случае в пространствах

- множество ограниченных на отрезке [c,d] функций с метрикой

для абсолютной погрешности

аппроксимации по норме получим соответственно оценки

Рис. 3.5. Графики оценок относительной погрешности

Как видим из полученных оценок, погрешность аппроксимации не накапливается, что является положительной стороной предложенного метода.

Так как на практике, как правило, нам известны лишь приближенные значения параметров и погрешности измерений, то верхние оценки для абсолютной погрешности аппроксимации лучше выразить в виде

Вернемся к функции (3.1) и ее аппроксимации с помощью последовательности (3.2) в пространстве ограниченных функций М[ 0, к].

Пусть - абсолютная погрешность

аппроксимации.

Запишем последовательность

максимальных метрик. Из уравнения получим, что

данную последовательность можно представить в виде

Можно доказать аналогично доказательству теоремы 1, что

последовательность причем

сходимость на отрезке [0,1] является поточечной, но не является равномерной. Важно заметить, что последовательность {/;} также сходится к ступенчатой функции.

Графики нескольких первых функций в последовательности гДД) приведены на рис. 3.6.

Как видим на рис. 3.6, длина промежутка, на котором погрешность аппроксимации не превышает А, резко возрастает с увеличением п в области достаточно малых значений погрешности А . Этот факт говорит о быстрой сходимости предложенного метода и является его положительной особенностью.

Для количественной оценки изменения длины этого промежутка выведем приближенную зависимость для функции С этой целью используем соотношение где

Тогда

Раскладывая в ряд Маклорена и учитывая

достаточную малость значений х_п__х, приближенно получим

Тогда

Рис. 3.6. Длины промежутков с погрешностью аппроксимации, не превышающей А

Укажем некоторые свойства предложенной аппроксимации (3.2).

Свойство 1. Максимальная величина разности длин промежутков не зависит от п и находится по соотношению:

Доказательство.

Основываясь на ранее полученном соотношении

найдем производную

Точки являются точками минимума,

в которых . В случае Д = 1 также имеем . Точки

являются точками максимума и не зависят от п. Тогда получим, что

Для справки укажем, что

Свойство 2. Максимальная величина разности значений функций не зависит от л и находится по соотношению:

Доказательство аналогично доказательству свойства 1.

Также для справки укажем, что

Свойство 2 показывает, что последовательность аппроксимирующих функций f_n(x) (2) не сходится по Коши, то есть не является

фундаментальной, так как , что

. В качестве ? можно взять, например, число 0,1,

положив

Полученные соотношения можно использовать для оценки погрешности аппроксимации в решении прикладных задач.