Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Теория электропривода

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Математическое описание процессов в обобщенной машине, приведенное в §1.3 и 1.4, использует действительные реальные значения напряжений и токов в обмотках двухфазной машины. Такой подход дает представление о физической природе электромагнитных процессов в электромеханическом преобразователе.

Сложность уравнений (1.15) и (1.30) для их дальнейшего использования связана с тем, что эти уравнения нелинейны, так как содержат переменные коэффициенты, зависящие от угла поворота <р ротора, а также в связи с тем, что основные переменные (токи и напряжения), являются в установившемся режиме синусоидальными величинами. Эти обстоятельства затрудняют анализ и моделирование электромеханических процессов, а, следовательно, синтез систем автоматического регулирования координат (переменных) электропривода.

Возможно существенное упрощение уравнений электрической машины путем замены реальных переменных новыми. При этом конечно, замена реальных переменных, вводимыми вновь, не должна нарушать энергетического баланса, т.е. мощность электрического тока и магнитных полей в процессе преобразования уравнений не должна изменяться.

Для получения физической картины электромагнитных процессов в электрической машине удобно пользоваться векторным представлением электрических и магнитных переменных.

В обобщенной электрической машине на неподвижном статоре имеются две обмотки по взаимоперпендикулярным осям аир (см. рис. 1.9). Будем считать, что напряжение, прикладываемое к обмоткам иа’ ир’ токи ha> z'ip> создаваемые ими потоки представляют собой векторы _xla, х, направленные вдоль осей аир. Результирующий вектор Х{ этих величин, создаваемый обеими обмотками, представляет собой геометрическую сумму этих величин:

Величина и положение вектора Хх полностью определяется его проекциями на неподвижные оси аир (рис. 1.10,с).

Как было показано в §1.2, если величины 1(Х и_ изменяются по синусоидальному закону, то обобщенный вектор , вращается в пространстве со скоростью со0 = 2к J п. Проекции этого вектора на оси аир являются реальными переменными (ток, напряжение, пото- косцепление) статора, изменяющимися во времени. То же относится и к переменным, связанным с обмотками d и q, расположенными на вращающемся со скоростью со роторе. В соответствии с векторной диаграммой на рис. 1.10,6 , где

Фзд = (о — текущее значение угла между осями а и d.

Векторы электромагнитных величин в различных системах координат

Рис. 1.10. Векторы электромагнитных величин в различных системах координат: а — вектор электромагнитных величин статора б — вектор электромагнитных величин ротора

Введем новую систему координат и - v расположенную под углом фк между осями а и и (рис. 1.10). Эта система ортогональных координат и - v не связана с физической конструкцией двигателя, а вращается в пространстве с некоторой скоростью сок. Таким образом, представлены три системы ортогональных координат:

а — (3 — связанная с обмотками статора и потому неподвижная;

  • - — связанная с ротором и вращающаяся в пространстве со скоростью ротора со;
  • - — вращающаяся в пространстве с некоторой скоростью (0К; ia’ ip — проекции вектора , на оси а — (3;

а, р — проекции вектора на оси а — (3;

, , , — проекции вектора , на оси d — q;

d, q проекции вектора на оси d — q

, , j — проекции вектора , на оси и — v;

и, v — проекции вектора на оси и — v.

Если известны реальные значения составляющих вектора , в обмотках ос, (3 (например, токи в обмотках), то, зная скорость вращения сок координатных осей u-v можно, пользуясь геометрическими соотношениями, определить составляющие вектора , в осях u-v:

Также, если известны реальные значения составляющих вектора 2 в обмотках d, q (например, токи в обмотках ротора), то, зная скорости вращения ротора со и осей координат сок, можно пользуясь геометрическими соотношениями, определить составляющие вектора 2 в осях u-v:

Формулы (1.32), (1.33) — это формулы прямого преобразования координат, где фэл = со ; фк = сок . При моделировании электромагнитных процессов и для выработки управляющих воздействий возникает необходимость в обратных преобразованиях координат.

Если известны проекции результирующего вектора ,, или 2, на оси координат u-v, то можно найти реальные значения переменных в обмотках статора или ротора, пользуясь формулами обратных координатных преобразований:

Еще раз подчеркнем, что преобразования координат не изменяют характера описываемых электромагнитных процессов в двигателе, а являются лишь поиском наиболее удобной формы их математического описания для математического моделирования процессов.

Произведем преобразование уравнений электрического равновесия (1.14), подставив в них новые переменные ulu, ии, и и, и v из (1.32) и (1.33).

Для первого уравнения:

Для третьего уравнения:

Для второго и четвертого уравнений (1.14) выражения записываются аналогично.

Производя дифференцирование с учетом, что и , после преобразований получим:

Замена переменных привела к появлению в уравнениях ЭДС, пропорциональных скорости вращения координат.

Потокосцепления в осях координат u-v будут равны:

Уравнение для момента в токах, выраженных в координатах и - v, найдем, заменив в выражении (1.30) реальные переменные на преобразованные по формулам (1.34):

Используя соотношения между потокосцеплениями и токами, выраженными в координатах и - v, можно получить и другие выражения для момента:

Важной особенностью описания электромагнитных и электромеханических процессов в системе преобразованных координат и - v, является то, что коэффициенты взаимной индукции и потокосцеп- ления независимы от положения ротора. Это обстоятельство не вносит неадекватности в описания процессов, так как реальное движение обмоток ротора отражается в уравнениях для преобразованных координат введением дополнительных ЭДС вращения координат сок. Отсюда следует, что для неявнополюсных машин момент, развиваемый двигателем, не зависит от положения ротора.

При исследовании процессов в различных электрических машинах целесообразно выбирать ту систему координат, которая дает наиболее простые и удобные для использования математические выражения. Это достигается выбором скорости вращения координатных осей сок. Используются следующие варианты выбора скорости осей координат: ? оок = 0 — координатные оси неподвижны и связаны с обмотками статора. Эта система координат ос - р, обеспечивающая преобразование реальных переменных ротора, выраженных в осях d-q к неподвижным осям а - р. Уравнения двигателя будут иметь вид:

При использовании координат а — р напряжения и токи в обмотках статора и ротора являются переменными величинами и= Uт to t и р = Uт (О и так далее, где со — угловая частота

питающей сети, частота переменных ротора будет равна частоте статора, что не соответствует реальным переменным;

? а>к = со — координатные оси связаны с обмотками ротора и вращаются в пространстве со скоростью ротора. Эта система координат d —q соответствует преобразованию реальных переменных в переменные в подвижных осях. Уравнения двигателя:

Напряжения и токи в обмотках статора и ротора являются переменными с частотой ротора, т.е. со = со - со — угловая частота питания со стороны ротора. Это обстоятельство делает удобным использование координат для синхронных двигателей, где в установившемся режиме со = со и со = , т.е. токи и напряжения будут величинами постоянного тока, что весьма удобно для моделирования;

? сок = со — координатные оси связаны с результирующим вектором напряжения питающей сети, который является независимой величиной. В этом случае оси координат, обозначенные х-у, вращаются в пространстве с синхронной скоростью со и уравнения двигателя можно записать в виде:

Если в рассматриваемом случае к реальным обмоткам статора ос и р приложено двухфазное напряжение ua=Um со t и

= Uтt, то при преобразовании координат к системе х-у в соответствии с (1.32) получим:

Таким образом^в системе координат х-у, связанных с независимым вектором Ui, к обмотке статора х прикладывается постоянное напряжение uix=Um, а к обмотке у — и = . Все электрические переменные обобщенной машины являются величинами постоянного тока.

Данное преобразование не нарушает физического смысла происходящих электромагнитных процессов. В реальности результирующий вектор синусоидальных напряжений Ux, прикладываемых к обмоткам статора а и (3 вращается в пространстве относительно неподвижных координат а —13 со скоростью со . В преобразованной форме результирующий вектор напряжения Ux неподвижен относительно оси х координат х-у, однако сами эти оси вращаются в пространстве со скоростью со , а вместе с ними вращается и результирующий вектор 0Х. Физическая картина не изменилась;

? юк = сон. В этом случае координатные оси u-v связаны с каким-либо результирующим вектором электромагнитной переменной. Будем рассматривать оси координат, ось и которых связана с вектором потокосцепления ротора В отличие от других систем

координат, где скорость вращения координат детерминирована, в рассматриваемом случае скорость вращения координат определяется скоростью вращения вектора ?2 относительно неподвижных обмоток статора:

где 5 — угол между независимым вектором напряжения статора Ux и вектором потокосцепления ротора (рис. 1.11).

Цель данного координатного преобразования заключается в нахождении такой скорости вращения координат сок = сом = /(t), которая позволяет условно рассматривать неподвижным тот вектор, который является определяющим для данной электромагнитной системы.

Функцию сом = /(/) найдем, если потребуем, чтобы положительное направление действующей оси координат и всегда совпадало с вектором *Р2, т.е. связываем ось координат и с интересующим вектором и заставляем оси координат u-v совершать в пространстве те перемещения, которые совершает вектор Ф2 в системе неподвижных координат. При этом координаты и - v должны совершать два движения — одно вращательное с постоянной скоростью со а другое — сложное движение с угловой скоростью dbfdt относительно системы синхронных координатах х - у.

Положение вектора потокосцепления ротора в осях и-v

Рис. 1.11. Положение вектора потокосцепления ротора в осях и-v

Поскольку ось и связана с вектором ? то в любой момент времени проекция этого вектора на ось и равна и = |*F | а проекция этого вектора на ось v равна v = .

Если эти особенности ориентации координатных осей приложить к формуле (1.42) для определения момента, то получим

Такая интерпретация формулы для момента не только наиболее проста для расчета, но и имеет ясное физическое толкование: момент двигателя есть результат взаимодействия потока, создаваемого одной частью электродвигателя, с током в обмотках, расположенных в другой ее части. Это взаимодействие выражается векторным произведением пространственного вектора потокосцепления ротора с пространственным вектором тока статора (см. рис. 1.5):

Уравнения, описывающие электромагнитные процессы для обобщенной электрической машины в координатах и - v в соответствии с (1.35) можно записать в виде:

Некоторые выводы. Электромагнитные процессы в обобщенной электрической машине (как и в реальных машинах) можно представить пространственными векторами электромагнитных переменных, вращающихся в воздушном зазоре машины. Взаимодействие токов и создаваемых ими потоков (потокосцеплений) приводит к появлению механических сил — электромагнитного момента, т.е. к электромеханическому преобразованию энергии. Источником магнитного потока в одной из частей машины могут быть постоянные магниты.

Поскольку по обмоткам машины протекают переменные (импульсные) токи и вследствие вращения ротора, результирующие векторы электромагнитных переменных перемещаются (вращаются) в пространстве, что определяет необходимость выбора базы отсчета — координатных осей, относительно которых определяются величины и положение результирующих векторов электромагнитных переменных: токов, потокосцеплений, напряжений.

Возможны различные базы отсчета — оси координат. Одна из систем координат ос —13 — реальная, неподвижная в пространстве, связанная с обмотками статора. Однако математическое описание процессов в системе координат ос - р наиболее сложное, так как уравнения сдержат переменные коэффициенты — индуктивности и взаимоиндуктивности, являющиеся тригонометрическими функциями утла поворота ротора.

Для упрощения уравнений применяют подвижные системы отсчета — вращающиеся оси координат. Соответственно новым системам отсчета изменяются электромагнитные переменные, но все энергетические соотношения: электрическая, магнитная и механическая мощности при этом сохраняются. В общем случае подвижная система координат носит название и - v, и она вращается в пространстве с некоторой скоростью сок. Для большей четкости в зависимости от выбора этой скорости координат различают системы координат:

dq, если сок = со, т.е. оси координат вращаются со скоростью ротора;

х-у, если сок = со , т.е. оси координат вращаются согласно с результирующим вектором напряжения питающей сети;

u-v, если действительная ось координат и привязывается к одному из векторов электромагнитной переменной, т.е. вращается с произвольной скоростью, которую имеет этот вектор, например, вектор потокосцепления ротора 'Р .

Каждая из систем подвижных координат имеет свои достоинства, которые определяют целесообразность их применения в конкретных случаях.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >
 

Популярные страницы