ОПИСАНИЕ СИСТЕМ СЕРВИСА ДИСКРЕТНЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Дискретные марковские процессы

Система сервиса переходит из одного состояния в другое не в строго определенные моменты времени, а в случайные. Однако, как правило, система сервиса выполняет определенные виды заказов, которые можно просто перечислить, поэтому множество состояний системы сервиса обычно конечно. Следовательно, такую систему можно описать непрерывным во времени и дискретным по состояниям случайным процессом. Без потери общности можно предположить, что переход из одного состояния в другое происходит мгновенно, «скачком». При этом моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее.

Пусть случайный процесс в случайные моменты принимает К дискретных значений j1? s2,..., sK (рис. 13.1).

Возможные состояния системы с А"состояниями

Рис. 13.1. Возможные состояния системы с А"состояниями

Условная вероятность (вероятности перехода) состояния системы Sj в момент времени t, если известно, что в предшествующий момент t0 она находилась в состоянии sf.

Очевидно, что вероятности перехода должны удовлетворять условиям нормировки и быть неотрицательными:

Если система только что приняла какое-то состояние, то вероятность того, что она сразу же перейдет в другое состояние, бесконечно мала. Поэтому примем, что переходная вероятность того, что система в момент времени t0 перейдет в другое состояние, равна нулю, т.е.

где 5 у — дельта-функция.

Для дискретного марковского процесса справедливо уравнение Колмогорова—Чепмена [5, 33]:

Так же как в уравнении Маркова (12.10) для однородной цепи, процесс может принимать различные промежуточные состояния, т.е. проходить различными путями к рассматриваемым состояниям. Суммируя вероятности всех возможных вариантов и используя свойство процесса Маркова (12.2), мы придем кдан- ному уравнению. Следовательно, для вероятностного описания дискретного марковского процесса достаточно задать вероятность начального состояния и одношаговые вероятности перехода.

В расчетах, связанных с последовательностью событий, удобно пользоваться понятием «элемент вероятности» рА представляющим собой вероятность попадания на произвольно расположенный достаточно малый участок оси времени At хотя бы одного события. Эта вероятность (с точностью до малых величин более высокого порядка по сравнению с At) пропорциональна длительности участка:

где а — коэффициент пропорциональности.

В общем случае коэффициент зависит от момента анализа процесса и является функцией времени а(/). Используя понятие элемента вероятности и (13.2), вероятности перехода при скачкообразных изменениях процесса для малых временных интервалов можно записать как

Из условия нормировки переходных вероятностей (13.1) имеем: Подставив (13.4), получим: или

При установленной связи между коэффициентами из (13.4) и (13.5) видно, что при малом интервале времени At вероятность остаться в том же состоянии меньше 1, но близка к 1 (так как коэффициент akk(t) < 0 и мал), а вероятность перейти в другое состояние близка к 0 (так как akj (t) мал). При увеличении интервала At вероятность остаться в том же состоянии уменьшается, а вероятность изменить состояние возрастает.

На рис. 13.2,13.3 показаны процессы сдвумя состояниями при различных значениях коэффициентов akj. Как видно, чем больше коэффициент, тем меньше времени процесс остается в данном состоянии и чаще переходит в другое. Поэтому коэффициенты характеризуют интенсивность перехода в другое состояние. Важно отметить, что акк{1), согласно (13.5), представляет собой сумму интенсивностей всех выходов из состояния к, что позволяет интерпретировать Мо.кк как среднее время пребывания процесса в состоянии к до перехода в другое состояние.

Реализации дискретного процесса Маркова для ai=0,2; a=0,3

Рис. 13.2. Реализации дискретного процесса Маркова для a0i=0,2; a10=0,3

Подставив в правую часть уравнения Колмогорова—Чепмена (13.3) выражения (13.4) и перейдя к пределу при At 0, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений [5, 33]:

В матричном виде (13.6) можно записать как где A(t) квадратная матрица, элементами которой являются

Реализации дискретного процесса Маркова для ai = 0,8; a,o= 0,75

Рис. 13.3. Реализации дискретного процесса Маркова для a0i = 0,8; a,o= 0,75

Матрица интенсивностей переходов называется образующей (порождающей) матрицей.

Так как справедливо (13.5), сумма элементов строк равна нулю при условии, что все состояния достижимы из других состояний и марковский процесс не дрейфует в бесконечность. Другие матрицы (13.7) имеют вид:

Решение системы уравнений (13.6) при начальных условиях

(13.2) дает зависимость вероятностей перехода от времени.

Уравнение Колмогорова—Чепмена (13.3) также можно записать в матричной форме:

Уравнению (13.3) удовлетворяют и абсолютные вероятности состояний pp):

где — вероятность начальных состояний.

Подставив в (13.10) значения (13.4) и перейдя к пределу, получим систему дифференциальных уравнений для абсолютных вероятностей:

Уравнение (13.82) также можно записать в матричном виде: где

Решение системы дифференциальных уравнений при начальных условиях Pj{t) = Pj (/0) = Р,°дает зависимость абсолютных вероятностей от времени.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >