Критерии оптимальности решения

Наиболее часто в неопределенных операциях используются критерии:

> среднего выигрыша (Байеса);

> Лапласа;

> осторожного наблюдателя (Вальда);

> максимакса;

> пессимизма-оптимизма (Гурвица);

> минимального риска (Сэвиджа);

> среднего риска;

> взвешенного выигрыша;

> взвешенного риска.

Критерий среднего выигрыша (Байеса) предполагает расчет среднего оптимального выигрыша (математического ожидания выигрыша) каждой i-й альтернативы по всем у'-м состояниям природы:

Оптимальным считается тот k-й вариант альтернативы Ik, для которого средний выигрыш — максимальный:

Критерий Лапласа (среднего арифметического) используется, когда о вероятности того или иного состояния обстановки (природы), при котором выполняется то или иное решение, ничего не известно. В этом случае все возможные состояния природы считаются равновероятными. Тогда на основании (10.2) и (10.3):

Эти значения Si; подставляются в матрицу (10.4), а затем используется критерий (10.6).

Критерий осторожного наблюдателя (Вальда), или макси- минный критерий, ориентирован на получение такого решения, которое обеспечивает максимальный выигрыш при наихудших условиях. Для этого в каждой i-й строке матрицы (10.4) находится минимальный выигрыша/; для j = 1,Ц, т.е. по всем состояниям обстановки:

Оптимальным считается тот k-й вариант альтернативы Ik, k = 1, N, для которого

Максиминный критерий не содержит элементов риска: при любых состояниях природы и выбранном k-м варианте решения (системы, проекта и т.п.) выигрыш от использования решения будет не хуже найденного максимина (10.9).

Критерий максимакса (восторженного или крайнего оптимиста) ориентирован на выбор такого решения, которое обеспечивает лучший результат для наилучших состояний обстановки. Для этого в каждой i-й строке матрицы (10.4) находят максимальный выигрыш:

а затем выбирают тот k-й вариант решения Ik, для которого этот максимально возможный выигрыш — максимален:

Критерий максимакса, естественно, самый рискованный для лица, принимающего решение. Вероятность риска, т.е. того, что планируемый максимальный результат akj не будет достигнут, равна (1 -Skj).

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица), или критерий обобщенного максимума, ориентирован на принятие промежуточного решения (не крайняя осторожность, но и не безрассудный азарт), при котором одновременно учитываются наихудшие и наилучшие выигрыши, обеспечиваемые каждым i-м вариантом решения It. Для этого вводится коэффициент оптимизма а (О < а < 1), который характеризует отношение к риску лица, принимающего решение, и определяется «компромиссный» выигрыш от использования i-го варианта:

где значения maxai; nmina^ выбираются для г-й строки матрицы (10.4).

Оптимальным считается то k-e решение Ik, для которого компромиссный выигрыш (10.12) максимален:

Из (10.12) и (10.13) следует, что при а = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, а при а = 1 — максимакса.

Значение а определяет лицо, принимающее решение (или экспертная группа). Чем опаснее оцениваемая ситуация (обстановка), тем ближе к нулю следует выбирать значение а, чтобы гарантировать наибольший из минимальных выигрышей. На практике применяют осе[0,3; 0,7].

Критерий минимального риска (Сэвиджа) ориентирован на выбор варианта, для которого минимальны потери выигрыша при наихудших условиях (эти потери в литературе также называют «сожалением» о неиспользованных возможностях). С этой целью матрица выигрышей (10.4) преобразуется в матрицу потерь (риска) той же размерности, где каждый элемент а*; заменяется на элемент Ъц, равный:

где таха^ — максимальный элемент в у-м столбце матрицы вы-

i

игрышей (10.4):

Очевидно, cij тах — это максимально возможный выигрыш для у'-го состояния природы. Соответственно, — это как бы недополученный эффект (потери) при выборе варианта It в условиях Sj.

После преобразования матрицы используется критерий минимакса (не максимина!), т.е. сначала определяется максимальный риск (потери) для каждого i-го варианта:

а затем ищется тот оптимальный вариант Ik, для которого эти потери минимальны:

Критерий минимакса Сэвиджа так же, как и критерий максимина Вальда, не содержит элементов риска: при любых состояниях природы потери (риск, проигрыш) будут не более найденных по (10.16).

При использовании матрицы рисков ||bi; || и отсутствии сведений о вероятности Sj состояния природы Qj может быть использован также критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, который по аналогии с (10.12) определяет компромиссный проигрыш от использования каждой альтернативы It в виде

Здесь, как и в (10.12), ос — коэффициент оптимизма Гурвица; 0 < ос < 1. Оптимальным считается то k-e решение Ik, для которого компромиссный проигрыш минимален:

Из последнего соотношения следует, что при ос = 0 (крайняя осторожность) критерий Гурвица сводится к критерию минимакса Сэвиджа, а при а = 1 (крайний оптимизм) — к критерию минимина.

Критерий среднего риска предполагает расчет среднего риска каждого варианта It по всем состояниям природы:

и выбор того оптимального варианта Ik, для которого средний риск минимален:

Можно показать, что применение критериев среднего выигрыша (10.6) и среднего риска (потерь, проигрыша) (10.18) при одних и тех же исходных данных приводит к одному и тому же результату: выбору одного и того же варианта решения (альтернативы). Действительно, на основании (10.5), (10.17) и (10.14) имеем

Следовательно, если В(/,) обращается в максимум, то Щ1Д принимает минимальное значение.

Для ситуаций, когда отсутствует информация о вероятности того или иного состояния природы, критерий (10.18) применяется с учетом условий (10.2) и (10.3). В этом случае он вырождается в критерий минимума среднеарифметического риска (аналог критерия Лапласа для матрицы проигрышей).

Критерий взвешенного выигрыша предполагает совместный учет двух факторов: среднего выигрыша (критерий Байеса), который получается при многократном повторении i-й альтернативы It, и среднеквадратического отклонения выигрыша от среднего aB(/j). Последний с учетом обозначений (10.5) определяется в виде

Взвешенный выигрыш определяется в виде

где показатель X (X > 0) характеризует субъективное отношение лица, принимающего решение, к риску: чем больше X, тем в большей степени он не склонен рисковать. Вероятность того, что взвешенный выигрыш будет не меньше, чем определяемый по (10.20), составляет примерно 0,7 для X = 0,5; для X = 1 она примерно равна 0,84; при X = 1,5 — не менее 0,9 (90%-ная уверенность). На практике применяют А,е[0,5; 1,5].

Оптимальной считается та k-я альтернатива (Ik), для которой взвешенный выигрыш (10.20) максимален.

Критерий взвешенного риска предполагает совместный учет среднего риска для i-й альтернативы (см. (10.17)) и среднеквадратического отклонения риска от среднего значения all(/j), который определяется выражением

Взвешенный риск определяется в виде

где показатель X (А, > 0) имеет тот же смысл, что и в (10.20).

Оптимальной считается та k-я альтернатива (Ik), для которой при Х = const взвешенный проигрыш минимален.

Отметим, что критерии среднего и взвешенного выигрыша (проигрыша-риска) применяются только тогда, когда известны вероятности всех возможных состояний влияющих факторов (природы) для всех рассматриваемых альтернативных решений. Однако и в этом случае существует определенный риск нежелательного исхода при выборе той или иной альтернативы. На практике используют следующую эмпирическую шкалу градаций допустимого риска в зависимости от вероятности нежелательного исхода (риска) Рг: 0-0,1 — минимальный риск; 0,1-0,3 — малый риск; 0,3-0,4 — средний риск; 0,4-0,6 — высокий риск; 0,6-0,8 — максимальный риск.

Рассмотрим применение этих критериев на следующем примере. Необходимо выбрать (оценить) один из трех типов разрабатываемых программ /j, i = 1,3, для борьбы с одним из четырех типов программных воздействий 7), / = 1, 4(например, неких «вирусов»). Матрица эффективности aiy представлена в табл. 10.1. Физический смысл эффективности ос*у может быть различным, например, это относительная доля задач, которые решаются правильно с помощью программы I; при противодействующем «вирусе» 7}. Будем полагать, что известны вероятности Sj применения «противником» того или иного вида программных воздействий 7], причем они не зависят от типа разрабатываемой программы Iit т.е. Sij = $>2j - S^j = Sj. Значения Siy приведены также в табл. 10.1. Очевидно,

Таблица 10.1

Матрица эффективности (выигрышей)

Tj

?* 1

Oil

Sa

si2

aiz

sl3

<*i4

Si 4

h

0,1

0,4

0,5

0,2

0,1

0,1

0,2

0,3

h

0,2

0,4

0,3

0,2

0,2

0,1

0,4

0,3

h

0,1

0,4

0,4

0,2

0,4

0,1

0,3

0,3

1. Используем критерий среднего выигрыша (10.5) и (10.6):

Оптимальное решение /2.

2. Используем критерий Лапласа (10.6) и (10.7) и принимаем Sj = const = 1/4 = 0,25:

Оптимальное решение /3.

3. Используем критерий осторожного наблюдателя (Вальда) и формулы (10.8) и (10.9):

Оптимальное решение /2.

4. Используем критерий максимакса по (10.10), (10.11): Оптимальное решение Д.

5. Используем критерий Гурвица по формулам (10.12) и (10.13), принимая а = 0,6:

Оптимальное решение 1.

6. Используем критерий Сэвиджа (минимального риска): преобразуем таблицу выигрышей в таблицу потерь (рисков) с помощью (10.14), получим табл. 10.2.

Определяем на основании (10.15) и (10.16) максимально возможные риски (потери) по вариантам:

По критерию минимакса — оптимальное решение /3.

Таблица 10.2

Матрица потерь (рисков)

т.

Ti

11

bn

?»1

bi2

Si2

biz

Si3

bi 4

su

h

0,1

0,4

0

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

h

0

0,4

0,2

0,2

0,2

0,1

0

0,3

h

0,1

0,4

0,1

0,2

0

0,1

0,1

0,3

7. Используем критерий минимума среднего риска на основании (10.17) и (10.18):

Оптимальное решение /2.

8. Используем критерий взвешенного выигрыша на основании (10.19), (10.20), принимая, например, А,= 1.

Оптимальное решение по максимуму ВВ — 12.

9. Выбираем критерий взвешенного риска (проигрыша) на основании (10.21), (10.22), принимая Х=1.

Оптимальное решение по минимуму ВП — /3.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывают влияние следующие факторы:

> природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других нужен гарантированный результат);

> причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);

> характер лица, принимающего решение (одни люди склонны к риску в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно).

Выбор одного критерия приводит к принятию решения по оценке альтернатив, которое может быть совершенно отличным от решений, определенным по другим критериям. Это наглядно подтверждают результаты оценки эффективности систем применительно к примеру по рассмотренным критериям (табл. 10.3 — выделены лучшие по данному критерию варианты).

Таблица 10.3

Сравнительные результаты оценки систем

h

Критерий

1

2

3

4

5

6

7

8

9

среднего

выигрыша

Лапласа

максимина

(Вальда)

максимакса

Гурвица

минимакса

(Сэвиджа)

среднего

риска

взвешенного

выигрыша

взвешенного

проигрыша

h

0,21

0,225

0,1

0,5

0,34

0,3

0,13

0,12

0,24

h

0,28

0,275

0,2

0,4

0,32

0,2

0,06

0,19

0,15

h

0,25

0,300

0,1

0,4

0,28

од

0,09

0,09

0,12

Тип критерия для выбора рационального варианта должен быть оговорен на этапе анализа альтернатив (систем), согласован с заказывающей организацией и в последующих задачах синтеза (или выбора) систем предполагается заданным. Процесс выбора вида критерия для учета неопределенности достаточно сложен. Устойчивость выбранного рационального варианта можно оценить на основе анализа по нескольким критериям. Если существует совпадение, то это свидетельствует в пользу правильности выбора варианта.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >