Метод расчета на ЭВМ переходных процессов в тяговой сети с КУ

Существенно сократить время вычислений, повысить точность и наглядность расчетов, а также увеличить число исследуемых объектов позволяет интегрированная система MathCad, позволяющая решать дифференциальные уравнения численным методом без вычисления постоянных интегрирования.

Рассмотрим, как производится решение системы уравнений численным методом с использованием в пакете MathCad стандартной функции интегрирования дифференциальных уравнений rkfixed, позволяющей интегрировать дифференциальные уравнения численным методом Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования. Рекуррентные формулы численного интегрирования дифференциальных уравнений тока и напряжения на конденсаторе в общем виде записываются:

Согласно этим формулам интегрирование производится с шагом At и значение функции на шаге к+1 находится по известному значению функции на шаге к и приращению ее на данном шаге. Для этого система дифференциальных уравнений должна записываться в форме Коши. Решение численным методом зависит от того, насколько точно определена производная на заданном шаге интегрирования. Простейшим численным методом решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера, в котором производную определяют в начале шага интегрирования и считают ее постоянной на данном шаге. Метод Эйлера прост, однако он не учитывает того, что производная на шаге интегрирования изменяется и для получения приемлемой точности шаг интегрирования должен быть относительно небольшим, чтобы изменение производной было минимальным. Чем меньше шаг интегрирования, тем больше точность вычислений. При большом шаге интегрирования процесс решения дифференциальных уравнений может оказаться неустойчивым.

Чтобы решение получилось более точным, применяют модифицированный метод Эйлера (предиктор-корректор), когда находят значение производной не только в начале, но и в конце интервала интегрирования (шага интегрирования) и берут среднее значение производной на этом интервале. Еще более точные результаты дает метод Рунге-Кутта 4-го порядка, когда для коррекции производной на шаге интегрирования используют четыре точки.

Интегрированный пакет MathCad содержит набор функций для решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Мы будем использовать функцию rkfixed, предназначенную для численного интегрирования дифференциальных уравнений в форме Коши с начальными условиями методом Рунге-Кутта четвертого порядка (rk) с фиксированным шагом (fixed). Имеются также функции, которые интегрируют дифференциальные уравнения с переменным шагом.

Система уравнений в форме Коши для мгновенных значений тока / и напряжения ис схемы замещения (см. рис. 3.2) для первого этапа коммутации имеет вид:

На рис. 3.5 приведена программа расчета переходного процесса при включении КУ на первом этапе. Для интегрирования дифференциальных уравнений (3.28) и (3.29) введем компьютерные переменные х0=/, х1с. Сопротивление демпфирующего резистора обозначено R. После замены переменных дифференциальные уравнения примут вид:

Начальные условия (НУ) и производные функций задаются в виде векторов х и D(t, х). В скобках функции D сначала указывается переменная, по которой берется производная и отыскивается интеграл (в нашем случае это время t), и далее через запятую указывается функция, от которой берется производная (в нашем случае это вектор неизвестных х, содержащий в столбце две неизвестных х0 и Xj). На рис. 3.5 переменные в MathCad набраны прямыми буквами.

Решение системы из п дифференциальных уравнений с помощью функции rkfixed получается в виде матрицы, содержащей п+1 столбцов. На рис. 3.5 такая матрица обозначена буквой Z. Первый столбец матрицы содержит точки, в которых ищется решение системы дифференциальных уравнений. Эти точки соответствуют аргументу, т.е. независимой переменной — времени t. Второй столбец матрицы соответствует току i в заданных точках, а третий — напряжению ис на конденсаторе в тех же точках. Матрица Z решения системы уравнений, отыскиваемая с помощью функции rkfixed, задается следующим образом:

Рис. 3.5 (начало). Программа расчета переходного процесса при включении КУ

В скобках функции перечисляются через запятую: вектор начальных условий х, начальная (0) и конечная (0,2) точки интегрирования, число точек (2000) на интервале интегрирования, не считая нулевой точки, и функция D первых производных ис

Функции выделения максимальных значений и Функции выделения максимальных значений i

Рис. 3.5 (окончание)

комых функций. На рис. 3.5 решение отыскивается на интервале от 0 до 0,2 с в виде 2000 точек. При переходе от одной точки к другой время t изменяется на 0,2/2000 = 0,0001с или на 10_4с. Для построения графиков искомых величин по оси абсцисс откладывают время, а по оси ординат — ток и напряжение. Для этого вводят переменную п = 2000, равную количеству точек интегрирования и выражают время, ток, напряжение как индексные переменные, входящие в матрицу Z: tn (нулевой столбец Zn 0). in (первый столбец Zn j), un (второй столбец Zn 2). Далее строятся графики (см. рис. 3.5, окончание).

Кратность бросков тока и напряжения наиболее просто можно определить следующим образом. Поскольку в зависимости от начальной фазы питающего напряжения максимальное значение напряжения на конденсаторе может быть в положительном или отрицательном полупериоде, то с помощью функций max(u) и min(u) определяют максимальное (положительное) и минимальное (отрицательное) значения напряжения. Далее с помощью функции if с условием (если) в зависимости от значения модуля этих функций выбирают наибольшее значения напряжения. Если соблюдается условие, что максимальное значение напряжения больше, чем модуль минимального значения напряжения, то за максимальное значение напряжения на конденсаторе принимают максимального значения напряжения (в положительном полупериоде). Если же это условие не соблюдается, то за максимальное значение напряжения на конденсаторе принимают модуль минимального значения напряжения (в отрицательном полупериоде).

Приведенные на рис. 3.5 кривые получены на математической модели в интегрированном пакете MathCad при указанных выше параметрах КУ и начальной фазе питающего напряжения, равной

Переходный процесс при начальной фазе напряжения, равной нулю при нулевых начальных условиях

Рис. 3.6. Переходный процесс при начальной фазе напряжения, равной нулю при нулевых начальных условиях

45°, при начальных условиях: i(0) = 0 и ис(0) = 0. При этих же значениях параметров ранее были рассчитаны аналитическим методом кривые тока и напряжения в КУ. Как видно из рис. 3.3 и 3.5, значения кривых совпадают. Максимальное значение напряжения на конденсаторе в переходном режиме 59,88 кВ превышает амплитудное значение в установившемся режиме 45,43 кВ в 1,318 раза. Бросок тока при этом составляет 1,694.

На рис. 3.6 приведены те же кривые при нулевых начальных условиях, но при начальной фазе питающего напряжения, равной нулю. Как видно из рис. 3.6, процесс включения идет «мягче», перенапряжение в этом случае меньше и составляет 52,38/45,43 = 1,153. Бросок напряжения на конденсаторах уменьшается на 7,5 кВ.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >