Периодические сигналы

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом:

при

Здесь— постоянные амплитуда, период, частота и фаза.

Реальные сигналы имеют начало и конец. В дальнейшем под гармоническим сигналом будет подразумеваться сигнал, определяемый функцией, совпадающей с выражением (2.1) в конечном интервале времени.

Гармоническое колебание, определяемое выражением (2.1), иногда удобно представлять в одной из следующих форм:

Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис. (2.2а), а второй форме — на рис. (2.26).

Векторное представление гармонических колебаний

Рис. 2.2. Векторное представление гармонических колебаний

В первом случае действительная функция s(t) получается как проекция ОВ вектора А на его горизонтальную ось, а во втором — как сумма проекций ОВ на ту же ось двух векторов с амплитудами 1/2 А, вращающимися с угловой частотой 0)1 во взаимно противоположных направлениях.

Гармонический сигнал находит широкое применение на практике, в частности, при регулировке устройств обработки информации и снятии их амплитудных и частотных характеристик.

Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, действующих при Это представление осуществляется с помощью ряда Фурье.

Пусть заданная в интервале функция s(t) периодически повторяется с частотой , где Т — период повторения (рис. 2.3), причем выполняются следующие условия (условия Дирихле):

  • 1) в любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрьюов первого рода;
  • 2) в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число максимумов и минимумов.

Пример периодического сигнала

Рис. 2.3. Пример периодического сигнала

Подобная функция может быть представлена рядом Фурье, который записывается в тригонометрической или комплексной формах:

Здесь — постоянная составляющая (действующее значение);

ап и Ьп — амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения s(t).

Эти величины определяются выражениями:

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) n-й гармоники выражаются через ап и Ъп следующим образом:

Входящая в выражение (2.3) комплексная амплитуда Ап, в свою очередь, связана с ап и Ьп следующими очевидными соотношениями

Комплексные амплитуды Ап и А^ являются взаимно сопряженными комплексными величинами, поэтому:

В соответствии с выражениями (2.5) и (2.6) можно также написать:

Совокупность коэффициентов Ап называется спектром сигнала и полностью определяет этот сигнал.

Сопоставление формул (2.2) и (2.3) показывает, что фигурирующие в последней “отрицательные” частоты (при отрицательных п) имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Таким образом, при использовании удобной для анализа формулы (2.3) всегда можно освободиться от отрицательных частот путем перехода к тригонометрической форме.

Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти условия в практике не приходится специально оговаривать.

В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т. е s(t) = s(-t), в тригонометрической записи остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ь в соответствии с формулой (2.6) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап [формула (2.5)], и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками — амплитудной и фазовой, т. е. модулем и аргументом комплексной амплитуды [формулы (2.7) и (2.8)]. Наглядное представление о “ширине” спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображение спектра (рис. 2.4). Здесь по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс — частоты гармоник. Для исчерпывающей характери-

стики спектра подобное изображение должно быть дополнено заданием фаз отдельных гармоник.

Спектр периодической функции

Рис. 2.4. Спектр периодической функции

Спектр периодической функции состоит из отдельных “линий”, соответствующих дискретным частотам: 0, cot, 2о)1} ..., псо1. Отсюда и название — линейчатый, или дискретный, спектр.

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Основанный на формулах (2.2) и (2.3) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (суперпозиции) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов.

Если на входе линейной системы, характеристики которой известны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

Пусть коэффициент передачи системы (линейного четырехполюсника), представляющий собой отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе к комплексной амплитуде на входе, задан в форме:

Тогда для учета амплитудных и фазовых изменений комплексная амплитуда каждой из гармоник входного сигнала должна быть умножена на К (со).

Поэтому, если сигнал e(t) на входе линейной системы передачи записан в форме:

то сигнал u(t) на выходе в соответствии с принципом суперпозиции может быть найден с помощью следующего выражения:

Здесь Ёп и представляют собой соответственно комплексные амплитуды п-й гармоники сигнала на входе и выходе системы передачи. Таким образом, для получения решения задачи о прохождении сигнала через систему необходимо только умножить Еп на комплексный коэффициент передачи k(n(Oj).

Следует иметь в виду, что такое решение имеет практическую ценность при условии быстрой сходимости рядов Фурье. Между тем наиболее распространенные сигналы этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >