Спектры некоторых периодических сигналов

Рассмотрим спектры некоторых часто встречающихся сигналов.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Рис. 2.5. Периодическая последовательность импульсов

Для периодической последовательности импульсов (рис. 2.5а) с амплитудой А и длительностью ти, применяя формулы (2.4), (2.5) и (2.6), находим среднее значение (“постоянную составляющую”):

амплитуду косинусоидальной составляющей и-гармоники:

амплитуду синусоидальной составляющей п-й гармоники

I/

С помощью формул (2.7) и (2.8) находим амплитуду и фазу н-гармоники:

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (2.2), получаем:

При другом выборе начала отсчета времени (рис. 2.56) функция e(t) является четной относительно/, и для нее имеем:

Поэтому тригонометрический ряд имеет вид:

В системах передачи информации очень часто используются последовательности импульсов, которые характеризуются очень малым отношением длительности импульса к

т

периоду повторения, т. е. —«1 (рис. 2.6). Величина, обратная Т 2

этому отношению N=—»1, называется скважностью им- ти

пульсной последовательности.

Последовательность импульсов с большой скважностью

Рис. 2.6. Последовательность импульсов с большой скважностью

Большая по сравнению с длительностью импульса величина периода повторения приводит к необходимости учитывать очень большое число гармоник. Спектр в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.7.

Спектр импульсной последовательности

Рис. 2.7. Спектр импульсной последовательности

Расстояние между спектральными линиями очень мало

а амплитуды соседних гармоник близки по величине.

Это наглядно видно из формулы (2.18), которую в данном случае удобно записать в несколько видоизмененном виде:

Ввиду малой величины отношения аргумент синуса с

ростом п изменяется медленно. При малых значениях п приблизительно можно считать:

а амплитуды гармоник равными:

Заметим, что при —постоянная составляющая, рав- г 2

ная А0=Еу-, вдвое меньше амплитуды первой гармоники и во много раз меньше амплитуды импульса.

Последовательность пилообразных импульсов

Подобные функции часто встречаются на практике в устройствах для развертки изображения на экране кинескопа (рис. 2.8). Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 2.8. Периодическое колебание пилообразной формы

Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.5) — (2.7) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда:

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где п = 1, 2, 3,...

На рис. 2.9 показан график суммы первых пяти гармоник.

Сумма первых пяти гармоник ряда Фурье

Рис. 2.9. Сумма первых пяти гармоник ряда Фурье

Последовательность треугольных импульсов

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

Сумма первых трех членов этого ряда изображена на рис. 2.10. Более быстрое убьюание амплитуд гармоник объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.

Сумма трех первых гармоник периодической функции

Рис. 2.10. Сумма трех первых гармоник периодической функции

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >