Планирование эксперимента

Под планированием эксперимента понимается постановка опытов по заранее составленной схеме. При этом варьируются все исследуемые факторы одновременно, а влияние неизвестных или не включенных в исследование факторов учитывается с помощью статистических приемов.

Можно сказать, что планирование эксперимента представляет собой подход к исследованию, в котором математическим методам отводится активная роль. Эта методология позволяет успешно решать важнейшие для исследователя вопросы: сколько и какие эксперименты следует провести, как обработать их результаты.

Задача построения математической модели объекта с помощью планирования эксперимента требует формулировки цели исследования. Характеристика цели исследования, заданная количественно, называется параметром оптимизации и является результатом изучаемого процесса, его выходом, реакцией или опытом.

Входные переменные, отвечающие разным способам воздействия на объект, называются факторами. Факторы могут быть количественными и качественными, но и те и другие должны быть управляемыми.

Точность измерения факторов должна быть возможно более высокой. Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования, но не быть функцией других переменных.

Задача эксперимента формулируется математически следующим образом: нужно получить некоторое представление о поверхностном отклике факторов, которые в общем виде можно аналитически представить в виде функции математической модели:

М{у] = ц = ф{23,...,хк),

где у — параметр оптимизации (выход процесса), подлежащий изучению, например показатели стойкости инструмента, точность операции и т.д.; Х|, х2 — переменные факторы, от которых зависит отклик и которые можно варьировать в эксперименте, например конструкция и геометрия режущего инструмента, свойства обрабатываемого материала.

Представление неизвестной функции объекта в виде полигона является наиболее удобным. Для сохранения числа опытов на первой стадии исследования принимают полигон первой степени, или линейную модель.

Модель должна быть адекватной, т.е. способной предсказать результат эксперимента в каждой области с требуемой точностью:

Коэффициент регрессии этой функции определяется из эксперимента. Пользуясь результатом эксперимента, можно найти выборочные коэффициенты b0, bh by, каждый из которых является оценкой для теоретических коэффициентов регрессии р0, р„ р,., т.е.

Таким образом, уравнение регрессии, полученное на основании результатов экспериментов, в отличие от теоретического(П 1) имеет вид:

где у — оценка математического ожидания отклика Му = г.

Определив коэффициенты регрессии этого уравнения, получаем представление о влиянии изучаемых факторов на процесс, о взаимодействии факторов и направлении движения к оптимальной области. Задача считается решенной при попадании в область, близкую к оптимуму, с помощью линейной модели; в противном случае надо переходить к полигонам более высоких степеней, чтобы адекватно описать область оптимума.

Каждый фактор, участвующий в процессе, изменяется в каком-то интервале, внутри которого он принимает или любые значения, или ряд дискретных значений. Совокупность всех значений, которые может принять данный фактор, называется областью определения фактора. При планировании эксперимента для каждого фактора нужно указать тот интервал изменений параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого устанавливаются ориентировочные значения факторов, комбинация которых дает лучший результат. Этой комбинации (набору) значений факторов соответствует многомерная точка в однородном пространстве, которая принимается за исходную при построении плана эксперимента [13].

Интервалом варьирования факторов называют некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание — нижний.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбирают так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний — 1, а основной 0.

Для факторов в непрерывной области определения это достигается с помощью формулы преобразования:

где Xj — кодированное значение фактора; х,- — значение фактора, мкм; xi0 — значение основного уровня, г; /— номер фактора.

Выбор интервалов варьирования является неформализованным этапом планирования эксперимента и производится исследователем на основе опыта.

Минимальное необходимое число уровней факторов определяется максимальным порядком интерполяционного полигона по данному фактору. Оно должно быть на единицу больше этого порядка.

Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, которое позволяет описать процесс полигональной линейной моделью. В этом случае в эксперименте используются значения факторов, соответствующие верхней и нижней границам интервала варьирования.

Экспериментальные планы, в которых все факторы варьируются на двух уровнях, называются планами типа 2", где п — число факторов.

Полнофакторным называют эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число полигонации N= 2".

Для трехфакторной задачи выборочное уравнение регрессии имеет

вид

Полнофакторный эксперимент дает возможность найти предельные оценки коэффициентов. В табл. П1 представлена матрица планирования для трех факторов. Здесь столбцы х], х2, х3 образуют матрицу плана, задавая планирование: по ним непосредственно определяются условия опыта. Возможные произведения факторов в табл. П1 позволяют оценить эффект их взаимодействия. В П1 дана фиктивная переменная х0 для оценки свободной величины Ь0. Значение х0 одинаково во всех строчках и равно +1.

Таблица П1. Матрица планирования и результаты опыта

№ точки плана

*0

*1

*2

*3

*1*2

*1*3

*2*1

*1*2*3

Параметры

оптимизации

1

+

-

-

-

+

+

+

-

У

2

+

+

-

-

-

-

+

+

У2

3

+

-

+

-

-

+

-

+

Уз

4

+

+

+

-

+

-

-

-

У4

5

+

-

-

+

+

-

-

+

У5

6

+

+

-

+

-

+

-

-

Уб

7

+

-

+

+

-

-

+

-

У7

8

+

+

+

+

+

+

+

+

Ун

Матрицу, содержащую такие столбцы, называют расширенной матрицей планирования. Иногда к ней добавляют столбец со значениями параметра оптимизации, т.е. результатами опытов.

В некоторых практических заданиях взаимодействия второго и высшего порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. В этом случае нецелесообразно использовать полнофакторный эксперимент и применяют дробный факторный эксперимент, сокращая число опытов вдвое (до четырех). Матрица, используемая в данном случае, 23-1 .

В резании металлов широко используют зависимость

где А — параметр оптимизации (показатель стойкости режущего инструмента, сила и др.); С — постоянный коэффициент.

Для нахождения зависимости (П2), которая является исследуемой математической моделью, используют планирование эксперимента с преобразованием параметров оптимизации и факторов. Логарифмирование

приводит к линейной модели, что существенно упрощает задачу. Преобразованную модель записываем в виде

Для определения коэффициентов уравнения (П4) используют полнофакторный эксперимент типа 23. Преобразование независимых переменных Xj к безразмерным переменным производят с помощью уравнения преобразования

где за единицу нового масштаба принимают

Используя (П5), кодируют переменные. Результаты кодирования даны в табл. П2.

Таблица П2. Результаты кодирования переменных

Уровень фактора

V

5

t

Х

ig*i

*2

lg*2

*3

lg*3

Верхний (+)

V

r шах

lg Knax

c

umax

Ig^rnax

Tnax

Ig^max

Нижний(—)

V

r mm

lg Knin

C . umin

Ig^min

Tnin

Ig^rnin

Каждый эксперимент производят по меньшей мере 3 раза.

Согласно матрице планирования, находят коэффициенты bt по следующим формулам:

Решение (П4) позволяет найти зависимость (П2).

Далее проверяют адекватность полученной зависимости, для чего проводят следующий расчет:

1) находят на основании экспериментальных данных дисперсии адекватности:

где г— число повторных опытов; п — число экспериментов;

  • 2) вычисляют по (П4) значения параметра;
  • 3) вычисляют дисперсии воспроизводимости:

Если Sm2 < S^iy), то (П4) принимается адекватной и пригодной для вычисления параметра А в заданном диапазоне режимов резания.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >